Окрестностью точки icon

Окрестностью точки



НазваниеОкрестностью точки
Дата конвертации26.12.2012
Размер51.24 Kb.
ТипДокументы

Понятие предела функции. Непрерывность.

Окрестностью точки a называется интервал . Число h при этом называется радиусом этой окрестности (Рис.1.1).

Проколотой окрестностью точки a называется такая окрестность точки a, из которой удалена сама точка a (Рис.1.2).

 



 

 

Число b называется пределом функции в точке a (при ), если для любого найдется выколотая окрестность точки a, в которой выполняется неравенство . В этом случае пишут



Число b называется пределом функции при или при , если для любого найдется луч соответственно или , на котором выполняется неравенство . В этом случае пишут

или .

Замечание: если , то в этом случае пишут .

Свойства предела функции:

Теорема 1. Функция не может иметь двух различных пределов при (, ).

Теорема 2. Предел постоянной функции при (, ) равен самой этой постоянной.

Теорема 3. Пусть существуют пределы и .

Тогда:

а) ;

б) ;

в) если , то .

Из равенства (2) и свойства 2 следует, что, если с – постоянная, то

.

Замечание: для случаев , и свойство 3 формулируется аналогично.

Примеры, иллюстрирующие понятие предела функции в точке и на бесконечности приведены на рисунках 2.1 –2.8.



Непрерывность функции.

На рисунках 3.1 – 3.4 изображены графики четырех функций:

 

Функция, график которой изображен на рис. 3.1, не определена в точке a; функция, график которой изображен на рис. 3.2, определена в точке a, но не имеет предела в этой точке; функция, график которой изображен на рис. 3.3, определена в точке a, имеет в точке a предел, но этот предел не совпадает с ее значением в этой точке. Такие функции называют разрывными в точке a. Функция, график которой изображен на рис. 3.4, определена в точке a, имеет в точке a предел, и этот предел совпадает со значением функции в этой точке. Такие функции называют непрерывными в точке a.

Функция называется непрерывной в точке a, если выполняется условие .

Функция называется непрерывной на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Разность называется приращением аргумента при переходе от к x (иначе: приращением аргумента в точке ).

Разность называется приращением функции при переходе от к x.

 

Если функция непрерывна в точке , то при .

Таким образом, если функция непрерывна в точке , то .

1. Докажем, что .

Решение.

Пусть >0, тогда для всех x из окрестности точки a

, т.к. б.м.ф.

2.

Решение.

Рассмотрим разность



3.

Решение.



т.е. если , т.е. для всех x: или проколотая окрестность точки х=3 (из определения), значит, .

4. Доказать, что .


 

Пример 1. Вычислите .

Решение

Функция непрерывна в точке , следовательно

, откуда

 

Ответ: 2

Пример 2. Вычислите .

Указание

См. решение примера 1.

Ответ: 1,4.

Пример 3. Вычислите .

Решение

Функция разрывна в точке .

Заменим ее функцией g(x), непрерывной в точке и совпадающей с функцией в некоторой проколотой окрестности точки . Тогда (см. Рис.2.3).Имеем:



.

Ответ: .

Пример 4. Вычислите .

Решение



 



 

Ответ: .

 

Пример 5. Вычислите .

Решение

Пусть , тогда , откуда .

Так как функция в точке непрерывна, то при .

Окончательно имеем:



Ответ: .

Пример 6. Вычислите .

Решение





 

Ответ: .



Похожие:

Окрестностью точки iconКонтрольная работа за I четверть. 10 класс. I вариант. Материальная точка это
Тело, брошенное под углом к горизонту, упало на землю на расстоянии 10 м от точки бросания. Максимальная высота подъема над землей...
Окрестностью точки iconНазначение: ландшафтного проектирования Вырубка: не нужно
Также это могут быть точки горячего чая-кофе в зимнее время и коктейльные точки летом
Окрестностью точки iconПри отыскании экстремумов функции
Такие точки называются точками условного экстремума функции на линии в отличие от обычной (безусловной) точки экстремума, значение...
Окрестностью точки iconИсследование функций; строить их графики
Учитель: Ребята! У вас было домашнее задание "Критические точки функции, максимумы и минимумы". Дайте определение критической точки...
Окрестностью точки iconТематическое планирование по физике 10 класса Учебник Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев «Физика 10», изд. Просвещение 2003г
Введение. Что такое механика. Классическая механика Ньютона Движение тела и точки. Положение точки в пространстве
Окрестностью точки iconУскорение. §14 Движение с постоянны ускорением. Единица ускорения
Можно ли определять направление вектора ускорения, зная траекторию точки и направление движения точки
Окрестностью точки iconУпражнение Точки
Ход занятия: Педагог раздает детям заранее подготовленные блан­ки с пустыми квадратами и предлагает детям внимательно рассмот­реть...
Окрестностью точки iconРешение. Раскладываем определитель по первой строке: Прямая проходит через точки
Прямая проходит через точки О(0;0) и В(5;10). Тогда ее угловой коэффициент равен…
Окрестностью точки iconПоворот вокруг точки о на
Поворот вокруг точки о на ()­ это такое изменение плоскости в себе при котором точка о остаётся не подвижной, любой точке ставится...
Окрестностью точки iconЧто такое механика. Классическая механика Ньютона и границы ее применимости. Движение точки и тела. Положение точки в пространстве
Изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы