Тригонометрические уравнения icon

Тригонометрические уравнения



НазваниеТригонометрические уравнения
Дата конвертации22.12.2012
Размер41.46 Kb.
ТипРешение

Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим

 

Простейшие тригонометрические уравнения.

 









 

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.

 

1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры

   ( метод замены переменной и подстановки ).

  

2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.

 

    П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .

 

    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:

 

                                                               sin x + cos x – 1 = 0 ,

 

                               преобразуем и разложим на множители выражение в

                               левой части уравнения:

                             

    П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.

 

    Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

 

                                            sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

 

                                            sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

                              

    П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 

     Р е ш е н и е .
    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

 

                               2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

 

                               cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

    

                               cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

                              1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

                           

3.

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

 

   а)  перенести все его члены в левую часть;

   б)  вынести все общие множители за скобки;

   в)  приравнять все множители и скобки нулю;

   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на 

        cos ( или sin ) в старшей степени; 

   д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan

 

    П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

 

    Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

 

                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

 

                             tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,

 

                             корни этого уравнения:  y1 = 1,  y2 = 3,  отсюда

                             1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,

                              

 

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

 

    П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7. 

    Р е ш е н и е .  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

                                                                         = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

                             2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

                             tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

^ 5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

 

                                           a sin x + b cos x = c ,

 

    где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.



Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

 

 

^ 6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

    

    П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin x · sin 3x = cos 4x.

 

    Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:

 

                                        cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

 

                                                 cos 8x = 0 ,

 

                                                 8x = / 2 + k ,

 

                                                 x = / 16 + k / 8 .

 

7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.                                                                                                                                                 П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .  

                              




Похожие:

Тригонометрические уравнения iconПростейшие тригонометрические уравнения тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций.
Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций....
Тригонометрические уравнения iconФамилия, имя Номер
Решить тригонометрические уравнения. Сдать решенные уравнения до пятницы, 18 февраля, до 13. 00 в кабинет 24
Тригонометрические уравнения iconКонтрольная работа по теме: «Тригонометрические уравнения»

Тригонометрические уравнения iconКонтрольная работа «Тригонометрические функции». Цель: осуществить итоговый контроль знаний студентов по теме «Тригонометрия»
Задачи: закрепить знание формул тригонометрии, обратных тригонометрических функций, основных методов решения тригонометрических уравнений,...
Тригонометрические уравнения iconЗадания к зачету по теме «Тригонометрические уравнения» 10 класс

Тригонометрические уравнения iconОднородные тригонометрические уравнения Определение
Если этот член содержится, то есть а≠0, то уравнение решается делением обеих его частей на cos2x и последующим введением новой переменной...
Тригонометрические уравнения iconЛекция №1 «Тригонометрические функции и единичная окружность» Проверь свои знания: Назови основные тригонометрические функции
Используя единичную окружность, покажи оси синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов
Тригонометрические уравнения iconНайдите корень уравнения. Найдите корень уравнения
Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них
Тригонометрические уравнения iconРешить уравнения и найти корни уравнения, принадлежащие промежутку

Тригонометрические уравнения iconПрактические задания по теме «Показательные уравнения» Решите уравнения

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов