Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов icon

Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов



НазваниеМетодические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов
Дата конвертации09.10.2012
Размер250.68 Kb.
ТипМетодические рекомендации

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГОИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. Г. БЕЛИНСКОГО


В. Ф. Тимербулатова


ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ


Методические рекомендации

по выполнению контрольных работ для студентов

заочного отделения физико-математического факультета


Пенза − 2012

Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического университета имени В. Г. Белинского


Тимербулатова, В.Ф. Теория чисел: методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов заочного отделения физико-математического факультета / В. Ф. Тимербулатова. – 2012. −24 с.


Методическая разработка по теории чисел содержит тексты задач для контрольной работы. В работе даны примерные варианты контрольной работы для студентов заочного отделения с подробным решением заданий одного из вариантов, указана литература, необходимая для решения.


Научный редактор – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры Пензенского государственного педагогического факультета имени В. Г. Белинского А. А. Ловков


© В. Ф. Тимербулатова, 2012



  1. Наибольший общий делитель чисел а и b представить в виде линейной комбинации этих чисел с целыми коэффициентами:

  1. а =168, b = 74 1.12 а =448, b = 175 1.23 а = 40, b = 31

  2. а =192, b = 75 1.13 а =280, b = 217 1.24 а = 48, b = 37

  3. а = 200, b = 155 1.14 а = 407, b = 528 1.25 а = 62, b = 36

  4. а=111,b=144 1.15 а = 403, b = 234 1.26 а = 217, b = 161

  1. а = 217, b=126 1.16 а = 62, b = 46 1.27 а = 56, b = 23

  2. а = 253, b = 341 1.17 а = 168, b = 69 1.28 а = 343, b = 105

  3. а = 392, b=161 1.18 а = 539, b = 165 1.29 а = 49, b = 13

  4. а = 98, b = 30 1.19 а = 539, b = 143 1.30 а = 38, b = 49

  5. а =147, b = 39 1.20 а = 266, b = 343 1.31 а = 440, b = 343

    1. а = 418, b = 539 1.21 а = 37, b = 84 1.32 а = 92, b = 124

    2. а = 185, b = 420 1.
      22 а = 64, b = 25




  1. Данное рациональное число разложить в цепную дробь и вычислить все подходящие дроби:

    1. 38/127

    2. −587/113

    3. 64/25

    4. −37/29

    5. 73/43

    6. −53/30

    7. 182/103

    8. −171/47

    9. −38/127

    10. 587/113

    11. −64/25

    12. 37/29

    13. −73/43

    14. 53/30

    15. −182/103

    16. 171/47

    17. 127/38

    18. −113/587

    19. 25/64

    20. −29/37

    21. −43/73

    22. 30/53

    23. −103/182

    24. 48/37

    25. −127/38

    26. 113/587

    27. −25/64

    28. 29/37

    29. 43/73

    30. −30/53

    31. 103/182

    32. −47/171



  1. Разложить числа а и b в произведение простых множителей, вычислить сумму натуральных делителей наибольшего общего делителя чисел а и b, вычислить число натуральных делителей наименьшего общего кратного чисел а и b:

  1. a = 15120, b = 600

  2. а =1764, b = 840

  3. а = 99000, b=1680

  4. а=15120,b=14520

  5. а = 594000,b=198

  6. а = 396, b=1200

  7. а =10584, b = 336

  8. а = 8100, b =22680

  9. а =1890, b =1260

  1. а = 13068, b = 810

  2. а = 3500, b = 600

3.12 a = 2200,b=1800

  1. а = 2475, b = 525

  2. а = 1404,b= 270

  3. a = 9000, b=1848
    3.16 а = 630,b = 612

  1. а =1800, b = 1680

  2. а = 27225, b=1950

  3. a = 9450, b=1176

  4. а = 693, b = 6615

  5. а =1320, b=1404

  6. а = 3528, b =3780

  1. а =7128, b =15876

  2. а = 38500, b=2600

  3. а =3528, b=1890

  4. а =840, b = 2352

  5. а =1440, b=1584

  6. а = 4032, b=38016

  7. а = 342, b =1368

  8. а = 2475, b = 975

  9. а = 995, b =1764

  10. а = 2400, b = 79

  1. Выполнить указанные действия, если данные числа написаны в позиционной системе счисления с основанием g1. Ответ записать в системе счисления с основанием g2:

4.1 14(214−3117:23) g1 = 8, g2 = 7

4.2 (26653:112 +212)·13 g1 = 7, g2 = 6

4.3 (55082:481 +11 )·5 g1 = 9, g2 = 7

4.4 23(3117:23+11) g1 = 8, g2 = 6

4.5 (225−55082:481)·12 g1 = 9, g2 = 8

4.6 15(55082:112−423) g1 = 9, g2 = 7

4.7 (26653:235−63 )·14 g1 = 7, g2 = 5

4.8 (21340:23 −355)·12 g1 = 6, g2 = 8

4.9 3117:125 + 61·3 g1 = 8, g2 = 7

4.10 (21340:524 + 5)·12 g1 = 6, g2 = 9

4.11 4206·11:15+655 g1 = 7, g2=8

4.12 (4443:234 + 524)·12 g1 = 7, g2 = 9

4.13 (21426−4224:15 )·12 g1 = 7, g2 = 5

4.14 12·(200−3244:24) g1 = 8, g2 = 9

4.15 4206:234·12 + 556 g1 = 7, g2 = 6

4.16 (321−3244:125)·11 g1 = 8, g2 = 5

4.17 21·13 + 3117:23 g1 = 8, g2 = 5

4.18 (156271:32−1607)·12 g1 = 9, g2 = 8

4.19 (313+ 4662:24)·12 g1 = 7, g2 = 6

4.20 (15327 −356262:24)·12 g1=9, g2 = 7

4.21 (45234:24−777)·25 g1 = 8, g2 = 6

4.22 (45100:13−1231)·21 g1 = 6, g2 = 9

4.23 (31673:23 + 101)·31 g1 = 8, g2 = 7

4.24 (157+ 3244:24)·12 g1 = 8, g2 = 6

4.25 11·6222:15-2555 g1 = 7, g2 = 5

4.26 20412:524·12 + 504 g1 = 6, g2 = 8

4.27 (21250:23−344)·12 g1 = 6, g2 = 7

4.28 (45210:24 −776)·21 g1 = 8, g2 = 9

4.29 (111−3117:125)·12 g1 = 8, g2 = 6

4.30 (247−3142:23)·12 g1 = 8, g2 = 6

4.31 (240−21250:522)·22 g1 = 6, g2 = 7

4.32 (3117:125+240)·7 g1 = 8, g2 = 9

  1. Доказать что:

5.1 для любого простого числа р, большего 4, 5 p4 — 16 делится на 15;

5.2 для всех целых n, n7-n делится на 21;

5.3 куб любого натурального числа либо делится на 9, либо, будучи увеличенным или уменьшенным на единицу, делится на 9;

5.4 для любого простого числа p>3 выражение р2 -6р – 7 делится на 12;

5.5 произведение трех последовательных натуральных чисел, среднее из которых квадрат, делится на 60;

5.6 для любого простого числа р>3,р6 – 1 делится на 72;

5.7 для любого натурального п выражение n2(n4-1) делится на 20;

5.8 для любого простого числа р>2,р4 + 15 делится на 16;

5.9 для любых натуральных чисел а и b, аb(а4 – b4) делится на 30;

5.10 при любом натуральном а выражение а3 + 11а делится на 6;

5.11 для любого простого числа р>3, р2 + 6р -1 делится на 12;

5.12 при всяком натуральном п выражение п(п249)(n2 + 49) делится на 30;

5.13 при любом натуральном п, n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6;

5.14 для любого простого числа р>5, р4 – 1 делится на 30;

5.15 при любом натуральном п выражение n2(n4 – 1) делится на 15;

5.16 для любого простого р>3, р21 делится на 24;

    1. при любом натуральном п выражение 2п6n4n2 делится на 36;

    2. произведение квадрата натурального числа на натуральное число, предшествующее этому квадрату, делится на 12;

  1. для всех натуральных п выражение n55п3 + 4n делится на 40;

  2. при всяком нечетном х выражение х3 + Зхг – х – 3 делится на 48;

  3. для любого простого числа р>7, p6−1 делится на 63;

  4. при всяком натуральном п выражение п2(п41) делится на 60;

  5. при всяком целом а выражение 3 −3а + 1)2 – 1 делится на 8 и не делится на 3;

  6. при любом нечетном а выражение а4 + 3(3 + 2а2) делится на 16;

  7. для любого простого числа р, большего 3, р4 −1 делится на 48;

  8. при любом натуральном п выражение n(п2 + 5) делится на 6;

  9. произведение трех последовательных натуральных чисел, среднее из которых куб, делится на 72;

  10. для любого простого числа, большего 7, р6 – 1 делится на 56;

  11. при всяком нечетном а выражение а4 + 7(7 + 2а2) делится на 64;

  12. для любого простого числа р, большего 5, р4 – 1 делится на 15;

  13. при всех натуральных п выражение п5п делится на 10;

  14. для всех простых чисел р, больших 7, р6 – 1 делится на 504.




  1. Найти остаток от деления числа аk на m:

6.1. а = 3, k = 40, m = 333

6.2. а=15, k = 33,m = 93

6.3. а = 6, k = 63, m = 62

6.4. а = 4,k = 61, m = 62


6.5. а = 6, k=90, m = 52

6.6. а = 28, k = 122, m = 104

6.7. а = 12, k = 40, m = 38

6.8. а = 12, k = 83, m = 51

  1. Найти абсолютно наименьший вычет числа аk по модулю m:

    1. а = 6, k=147, m = 333

    1. а = 8, k = 35, m = 34

    2. а = 30, k=32, m =186

    3. а = 12, k=148, m = 666




    1. а = 9, k = 65, m = 93

    2. а = 8, k = 65, m = 124

    3. а = 14, k= 57, m = 76

    4. а = 6, k = 51, m= 153

  1. Совпадает ли абсолютно наименьший вычет числа ak по модулю m с остатком от деления числа ак на m?

    1. а = 3, k = 403, m = 99

    2. а = 22, k = 402, m=110

    3. а =10, k = 40, m = 28

    4. а = 15, k =122, m = 33




    1. а = 4, k= 185, m = 14

    2. а = 4, k = 21, m = 56

    3. а = 12, k = 26, m = 112

    4. а = 15, k = 27, от m= 65

  1. Найти последние две цифры числа ak:

    1. а = 8, k = 403

    2. а=12, k = 43

    3. а = 2, k=165

    4. а=14, k = 44

    5. а = 4, k= 103

    6. а = 6, k=165

    7. a=12, k=123

    8. a=8, k=224

  1. Методом Эйлера решить ах = b(mod m): сравнение:

    1. а = 5, b = 3, т = 8

    2. а = 5, b = 3, m = 12

    3. а = 3, b = 4, m = 7

    4. а = 3, b = 2, m = 5

    5. а = 7, b = 4, m =12

    6. а = 4, b = 3, m = 7

    7. а = 5, b = 2, m =12

    8. а = 3, b = 5, m = 7

    9. а = 5, b= 1, m=12

    10. а = 3, b = 5, m = 8

    11. а = 5, b = 2, m = 7

    12. а = 3, b = 7, m = 8

    13. а = 5, b = 4, m = 12

    14. а = 4,b= 3, m = 7

    15. а = 5,b = 3, т = 9

    16. a = 5, b=1, m = 8

    17. а = 3,b = 4,m = 11

    18. а = 3,b = 4,m = 8

    19. а = 5, b= 2, m = 7

    20. а = 3,b = 2,m=11

    21. а=5,b=1, m=12

    22. а = 3,b = 4, m = 7

    23. а = 4,b = 5, m = 7

    24. а = 5,b = 3, m = 7

    25. а = 7, b = 3, m =12

    26. а = 3, b= 2, m =10

    27. а = 4,b = 5, m=11

    28. а = 4, b=1, m = 9

    29. а = 5, b = 2, m = 11

    30. а = 2, b = 3, m = 9

    31. а = 3,b = 7, m =10

    32. а=5,b = 3, m = 9

  1. При помощи цепных дробей решить сравнение ах = b(тоd т):

    1. а = 475,b= 15, m = 305

    1. а=116,b= 8,m = 292

    2. а=132,b = 6,m = 93

    3. а=100,b=12,m = 444

    4. а = 69, b =12, m = 99

    5. а = 99,b=12,m = 69

    6. а = 292,b = 8,m=116

    7. а = 444, b= 12, m =100

    8. a = 93, b = 6, m =132

    9. а = 305,b=15,m = 475

    10. а=129,b = 63,m=111

    11. а=111,b = 63,m=129

    12. а =124, b = 8, m = 98

    13. а = 98,b = 8,m=124

    14. а = 75,b = 9,m=111

    15. а=111, b = 9,m = 75

    16. а = 56,b = 6,m = 78

    17. а = 78, b = 6, m = 56

    18. а = 74, b =10, m = 46

    19. а = 74,b=10,m = 48

    20. а = 46, b=10, m = 74

    21. а = 48, b=10, m = 74

    22. а = 84, b = 14, m = 50

    23. а=50,b=15,m = 85

    24. а =148, b= 20, m =108

    25. а = 74, b=12, m = 52

    26. а =100, b = 85, m =195

    27. а = 52,b=16,m = 68

    28. а = 240,b=28, m = 172

    29. а = 172, b = 28, m = 240

    30. а = 69, b =12, m = 78

    31. а =108, b= 20, m =148




  1. Найти общее решение уравнения ах + by = с в целых числах: (3 способа)

12.1 a=21,b=12,c=15

12.2 а =16, b= − 20, c=28

12.3 а =15, b=18, c=21
12.4 а =12, b=14, c=22
12.5 а =25, b=20, c=35
12.6 а =10, b= −12, c=18
12.7 а =15, b=24, c=27

12.8 a=12,b=14,c=16

12.9 а =9, b= 21, c=33
12.10 а =24, b=20, c=28
12.11 а =10, b=12, c=18
12.12 а = − 21, b=12, c=15
12.13 а =12, b= −14, c=22
12.14 а =20, b=25, c=35
12.15 a=15,b=−18,c=21

12.16 а =24, b= 15, c=27
12.17 а =16, b=20, c=28
12.18 а =−24, b=14, c=16
12.19 а =21, b=−9, c=33
12.20 а =20, b= −25, c=35
12.21 а =14, b=12, c=16

12.23 a=33,b=36,c=15

12.24 а =14, b= 12, c=22
12.25 а =24, b=−15, c=27
12.26 а =30, b=35, c=15
12.27 а =30, b=−55, c=20
12.28 а =32, b= 56, c=104
12.29 а =9, b=−21, c=51

12.30 a=21,b=−49,c=63

12.31 а =32, b= −56, c=64
12.32 а =30, b=55, c=75



Примерные варианты контрольных работ:

Вариант 0 1.32 2.32 3.32 4.32 5.32 8.8 10.32 11.32 12.32

Вариант 1 1.1 2.25 3.4 4.20 5.15 6.1 10.5 11.1 12.1

Вариант 2 1.2 2.24 3.5 4.19 5.16 7.1 10.4 11.2 12.2

Вариант 3 1.3 2.23 3.6 4.18 5.17 8.1 10.3 11.3 12.3

Вариант 4 1.4 2.22 3.7 4.17 5.18 9.1 10.2 11.4 12.4

Вариант 5 1.5 2.21 3.8 4.16 5.19 6.2 10.1 11.5 12.5

Вариант 6 1.6 2.20 3.9 4.15 5.20 7.2 10.25 11.6 12.6

Вариант 7 1.7 2.19 3.10 4.14 5.21 8.2 10.24 11.7 12.7

Вариант 8 1.8 2.18 3.1 4.13 5.22 9.2 10.23 11.8 12.8

Вариант 9 1.9 2.17 3.2 4.12 5.23 6.3 10.22 11.9 12.9

Вариант 10 1.10 2.16 3.3 4.11 5.24 7.3 10.21 11.10 12.10

Вариант 11 1.11 2.15 3.15 4.10 5.25 8.3 10.20 11.11 12.11

Вариант 12 1.12 2.14 3.16 4.9 5.1 9.3 10.19 11.12 12.12

Вариант 13 1.13 2.13 3.17 4.8 5.2 6.4 10.18 11.13 12.13

Вариант 14 1.14 2.12 3.18 4.7 5.3 7.4 10.17 11.14 12.14

Вариант 15 1.15 2.11 3.19 4.6 5.4 8.4 10.16 11.15 12.15

Вариант 16 1.16 2.10 3.20 4.5 5.5 9.4 10.15 11.16 12.16

Вариант 17 1.17 2.9 3.21 4.4 5.14 6.6 10.14 11.17 12.17

Вариант 18 1.18 2.8 3.22 4.3 5.13 7.5 10.13 11.18 12.18

Вариант 19 1.19 2.7 3.23 4.2 5.12 8.5 10.12 11.19 12.19

Вариант 20 1.20 2.6 3.24 4.1 5.11 9.5 10.11 11.20 12.20

Вариант 21 1.21 2.5 3.25 4.21 5.10 6.5 10.10 11.21 12.21

Вариант 22 1.22 2.4 3.11 4.22 5.9 7.6 10.9 11.22 12.22

Вариант 23 1.23 2.3 3.12 4.23 5.8 8.6 10.8 11.23 12.23

Вариант 24 1.24 2.2 3.13 4.24 5.7 9.6 10.7 11.24 12.24

Вариант 25 1.25 2.1 3.14 4.25 5.6 6.7 10.6 11.25 12.25


Библиографический список

  1. Бухштаб, А. А. Теория чисел / А. А. Бухштаб. − М.: Просвещение, 1966.

  2. Виноградов, И.М. Основы теории чисел / И. М. Виноградов. − М.: Наука, 1972.

  1. Завало, С. Т., Костарчук, В. Н., Хацет, Б. И. Алгебра и теория чисел ч. 2 / С. Т. Завало, В. Н. Костарчук, Б. И. Хацет. – Киев: Вища школа, 1980.

  2. Казачек, И. А., Перлатов, Г. Н., Виленкин, Н. Я., Бородин, А. И. Алгебра и теория чисел ч. 3 / И. А. Казачек, Г. Н. Перлатов, Н. Я. Виленкин, А. И. Бородин. − М.: Просвещение, 1979.

  1. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел / Л. Я. Куликов. − М.: Высшая школа, 1979.

  2. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. − М.: Наука, 1975.

  1. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел, ч. 1. / Е. С. Ляпин, А. Е. Евсеев. − М.: Просвеще­ние, 1974.

  1. Окунев Л.Я. Высшая алгебра / Л. Я. Окунев. − М.: 1966.



Демонстрационный вариант

1.32 Литература: [4], гл. 1 § 1,2, [5], гл. 11. § 2, [7], гл. 2. § 5.

Наибольший общий делитель чисел а = 92 и b = 124 представить в виде линейной комбинации этих чисел с целыми коэффициентами.

Решение. Применяя алгоритм Евклида к числам 124 и 92, получим:

124 = 92·1+32

92 = 32·2 + 28

32 = 28·1+4

28 = 4·7.

Так как последний отличный от нуля остаток равен 4, то r3= (92, 124) = 4.

Чтобы выразить г3 через а и b алгоритм Евклида запишем в виде последовательности формул:

b =a·qo + rl

а = r1·q1 + r2,

r1=r2·q2+r3,,

r2=r3·q3 , где q0=1, q1=2, q2=1, r3=4.

Отсюда:

r1 = b−a,

r2 = а−2r1 = а−2(b−a)=3a−2b,

r3 =r1−r2 = b−a−(3a−2b)=−4a+3b

Ответ: (а, b) = −4а + 3b.

2.32 Литература:[1], гл. 6 § 1, 2, [3], гл. 2. § 9, [5], гл. 11 § 3, [4], гл.1. § 9, [7], гл. 4 § 14.

Рациональное число −47/171 разложить в цепную дробь и вычислить все подходящие дроби.

Решение. Применяя алгоритм Евклида к числам −47 и 171, получим:

−47 = 171·(−(1)+124),

171 = 124·(1)+47,

124 =47·2+30,

47 =З0·(1)+17,

30=17·(1)=13,

17=13·(1)+1,

13=4·(3)+1

4=1·(4).

Имеем: q0 = −1, q1= 1, q2= 2, q3 = 1, q4 = 1, q5 =1, q6 = 3, q7 = 4.

Следовательно, − = [− 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 4].

Для вычисления подходящих дробей данного разложения составим таб­лицу:

k

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

qk







−1

1

2

1

1

1

3

4

Pk

0

1

1

0

−1

−1

−2

−3

−11

−47

Qk

1

0

1

1

3

4

7

11

40

171


Заметим, что при заполнении этой таблицы значения Рк и Qk вычис­ляются последовательно по формулам Рк=Рk−1·qk +Pk-2,, Qk= Qk-1·qk+ Qk-2 (к = 0, 1,2,3,4,5,6,7).

Т. к. значение k-й подходящей дроби вычисляется по формуле

Ak=, то A0=−1, A1=0, A2=−, A3= − , A4=−, A5=−, A6=−, A7=−.

Ответ:=[−1,1,2,1,1,1,3,4]; A0=−1, A1=0, A2=−, A3= − , A4=−, A5=−, A6=−, A7=−.

3.32 Литература: [1], гл. 2 § 1, гл. 33. § 1, [4], гл. 1, § 5, 6, [5], гл. 11. § 1, [7], гл. 2 §7, 8, [2], гл. 1 § 6, гл. 2. § 2.

Разложить натуральные числа в произведение простых множителей. Вычислить сумму натуральных делителей наибольшего общего делителя чи­сел а и b, вычислить число натуральных делителей наименьшего общего кратного чисел а и b.

Решение: а = 2400, b = 792. Имеем а = 2400 = 24·100 = 3·8·4·25 = =3·23·22·52 = 25·3·52, b = 792 = 9·88 = 8·9·11 = 23·32·11. Отсюда (а, b) = 23·3 = 24, [а,b] = 25·32·5·11=79200.

Т. к. 34 = 23·3, то сумма натуральных делителей о числа 24 равна

σ(24) = = 60 .

Аналогично, 79200 = 25·32·52·11, то число натуральных делителей τ числа 79200 равно х(79200) = (5 + 1)(2 + 1)(2 + 1)(1 + 1)= 108.

Ответ: а = 25·3·52, b = 23·32·11, σ((2400, 792)) = σ(24) = 60, τ([2400, 792])=τ(79200) = 108.

4.32 Литература: [3], гл. 2. § 6, [4], гл. 1. § 8, [5], гл. 11, § 4, [7], гл. 2. § 3.

Выполнить указанные действия, если данные числа написаны в позици­онной системе счисления с основанием gt. Ответ записать в системе счисления с основанием g2.

(3117:125 + 240)·7 (g1 = 8, g2 = 9).

Решение: Таблицы сложения и умножения в позиционной системе с ос­нованием 8 имеют вид:


+

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

10

2

3

4

5

6

7

10

11

3

4

5

6

7

10

11

12

4

5

6

7

10

11

12

13

5

6

7

10

11

12

13

14

6

7

10

11

12

13

14

15

7

10

11

12

13

14

15

16







1

2

3

4

5

6

7

1

1

2

3

4

5

6

7

2

2

4

6

10

12

14

16

3

3

6

11

14

17

22

25

4

4

10

14

20

24

30

34

5

5

12

17

24

31

36

43

6

6

14

22

30

36

44

52

7

7

16

25

34

43

52

61


Используя эти таблицы, выполним все арифметические действия:
31178 1258 238 2638

252 238 2408 78

377 2638 23458

377

0

Для записи числа 23458 в позиционной системе с основанием 9 применим алгоритм записи числа в системе счисления с основанием 9. Имеем 9 = 118. Тогда последовательным делением получим:


23458 11

22 2138 118

14 11 178 118

11 103 11 1 118

35 77 6 0 0

33 4 1

2

Записывая последовательность полученных остатков в обратном порядке, получим 23458 = 16429. Ответ: 16429.

5.32 Литература: [3], гл. 2. § 5, [4], гл. 1. § 1, 3, [5], гл. 4. § 4, гл. 11. § 2. Доказать, что для всех простых чисел р, больших 76 −1 делится на 504.

Решение: Введём обозначение р61 = А. Легко видеть, что 504 = 8·9·7. Так как 8, 9 , 7 попарно взаимно простые числа, то А делится на 504 тогда и только тогда, когда А делится одновременно на 8, 9, и 7. Сначала А разложим в произведение. Имеем А =рв1 = (р3 − 1)(р3 + 1) = (р − 1)(р +1)(р2 − р +1).

1.Докажем сначала, что А делится на 8.

Так как р простое число, больше 7, то оно нечетное, т. е. имеет вид p = 2k + 1. Отсюда А = 4k(k + 1)(4k2 + 2k + 1)(4k2 + + 3). Так как k(k + 1) как произведение двух последовательных целых чисел делится на 2, то А делится на 8.

2. Докажем, что А делится на 9.

Так как р простое число, больше 7, то р не делится на 3. Тогда имеем р = 3k + r, где r = 1 или r = 2.

При r = 1 получим А = 9k(3k+ 2)(9k2 + 3к+ 1)(3k2 + 3k + 1). Отсюда следует, что А делится на 9. Аналогично при r = 2 получим, что A = 9k (k + 1) (3k + 1) (3k2 + 3k+1) (9k2+15k+ 7), т. е. A делится на 9.

3. Докажем, что А делится на 7.

Имеем, что р = 7k +r, где r≠ 0, т. к. p − простое число. Легко видеть, что при r = 1 первый сомножитель разложения A делится на 7, аналогично при r = 2 четвертый сомножитель делится на 7, при r = 3 третий сомножитель, при r = 4 четвертый сомножитель, при r = 5 третий сомножитель и при r = 6 вто­рой сомножитель делится на 7.

Таким образом, A делится на 8, 9, и 7 одновременно. Следовательно, делится на 504.

6.6 Литература: [1], гл. 7, гл.10, гл.11. § 1, [2], гл. 3, [3], гл. 4 § 15,16, [4], гл. 3, §1,4, [5], гл. 12. §1,3.

Совпадает ли абсолютно наименьший вычет числа ak по модулю m с остатком от деления числа ак на т?

Решение. Пусть остаток от деления числа 1527 на 65 равен r. Тогда имеем 1527 = r(mod 65), где 0 < r < 65. Так как 65 = 5·13, то (1527, 65) = 5, следовательно, r делится на 5, т. е. r = 5·r1. Тогда 1527 = 5r1(mod 65). Разделив обе части сравнения и модуль на 5, получим 3·1526 = r1 (mod 13) и так как (15, 13)= 1, φ(13) = 12, то по теореме Ферма 1512  l(mod 13). Отсюда имеем r1  3·1526 = 3·(1512)2·152 = 3·152  3·4  12(mod 13). Отсюда r= 60(mod 65). Так как 0 < 60 < 65, то остаток от деления числа 1527 на 65 равен 60.

Так как 1527  60(mod 65), то все вычеты числа 1527 даются формулой 60 +65k, где kZ. Из этого множества выберем отрицательное число, модуль которого принимает наименьшее значение. При k = −1, 60 − 65 = −5 и 5 < 60. Таким образом, абсолютно наименьший вычет числа 1527 по модулю 65 равен −5, и не совпадает с остатком от деления числа 1527 на 65.

Ответ: Абсолютно наименьший вычет числа 1527 по модулю 65 не совпадает с остатком от деления этого числа на 65.

7.32 Литература: [1], гл.14, §1, [3], гл.4 §17, [4], гл.З, § 6.

Методом Эйлера решить сравнение ах = b(mod m)

Решение, а = 5, b = 3, m = 9. Имеем 5. х  3(mod 9). Если (а, b) = 1, то решение исходного сравнения дается формулой х bаφ(m)-1 (mod m). Так как (5, 9) = 1 и φ(9) φ(32)  З2 − 3  6, то х  3·56 −1=3·55 =3·52·533·25· 125 3·7·8 =21·8 3·8 24 6(mod 9). Ответ: х  6(mod 9).

8.32 Литература: [1], гл. 14. § 1, [2], гл. 4. § 2,3, гл. 4. § 17, [4], гл. 3. § 6.

При помощи цепных дробей решить сравнение ах = b(mod т). Т. к. а = 108, b = 20,m = 148, то решить сравнение 108х  20(mod 148).

Решение. Вычислить сначала НОД коэффициента а = 108 и модуля т =148 с помощью алгоритма Евклида.

148 =108·1+40, (q0=1)

108 =40·2+28, (q1 = 2)

40 =28·1+12, (q2=0)

28 =12·2+4, (q3=2)

12 =4·3. (q4 = 3)

(148, 108) = 4, свободный член b = 20 делится на 4, то сравнение 108х = 20(mod 148) (1) имеет 4 решения по модулю 148.

Разделим обе части и модуль сравнения (1) на 4. Тогда получим сравнение, равносильное сравнению (1), но по другому модулю 37. 27x = 5(mod 37) (2)

Так как (37, 27) = 1, то сравнение (2) имеет единственное решение по модулю 37.

Так как , то разложение дроби в цепную дробь находим из алгоритма Евклида для нахождения НОД чисел 148 и 108. Имеем = [1,2, 1,2, 3]. Длина цепной дроби п = 4.

Решение сравнения находим по формуле x = b·Рn-1·(-l)"(mod m), где b = 5, m = 37, Рn−1 числитель предпоследней подходящей дроби разложения в цепную дробь. Для вычисления числителей подходящих дробей составим таблицу:

k

−2

−1

0

1

2

3

4

Qk







1

2

1

2

3

Рк

0

1

1

3

4

(11)

37


Так как п = 4, то числитель предпоследней подходящей дроби Р3 =11. Следовательно, х  5·11·(−1) 55  18(mod 37). Отсюда х  18 + 37k (kZ). Отсюда легко найти решения сравнения (1).

x18(mod l48),

x55(mod 148),

x  92(mod 148),

x129(mod 148).

Ответ: Сравнение (1) имеет 4 решения по модулю 148:

x18(mod 148),

x55(mod 148),

x 92(mod 148),

xl29(mod l48).

9.32 Литература: [1], гл. 14. § 2, [4], гл. З. § 6.

Найти общее решение уравнения ах + by = c в целых числах а = 30, b = 55, с= 75.

Уравнение имеет вид 30x + 55y = 75. (30, 55) = 5, свободный член с = 75 делится на 5, то разделив обе части уравнения на 5, получим уравнение, равносильное исходному 6х+ 11у = 15 (1).

Отсюда + 11y 15(mod 6). После упрощений придём к сравнению 3(mod 6) (2).

Так как (5, 6) = 1, то сравнение (2) имеет единственное решение. Легко видеть, что у = 3 удовлетворяет сравнению (2). Отсюда у  З(mod 6) является решением сравнения (2). Следовательно, у = 3 + 6k где kZ. Подставляя значение у в уравнение (1), получим 6х + 11(3 + 6k) = 15, отсюда после не­сложных преобразований получим х = −3 − 11k где kZ.

Ответ: х = −3 − 11k, у = 3 + 6k где kZ.


Пензенский государственный педагогический университет

имени В. Г. Белинского.


Венера Фяритовна Тимербулатова

^ Теория чисел

Методические рекомендации

по выполнению контрольных работ для студентов

заочного отделения физико-математического факультета


Научный редактор – А. А. Ловков.

Редактор − Л. И. Дорошина

Оригинал


Подписано к печати Формат 60×84 / 16.

Бумага офсетная.

Печать офсетная. Тираж 100 экз.

Заказ

Цена


Редакционно-издательский отдел ПГПУ им. В. Г. Белинского: 440026, Пенза, ул. Лермонтова, 37. Кор. 5. Ком. 466.

Типография ПГПУ им. В. Г. Белинского.

Пенза, ул. Лермонтова, 37. Кор. 8. Ком. 311.





Похожие:

Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов iconМетодические рекомендации по дипломному проектированию и выполнению выпускных квалификационных работ для студентов всех форм обучения по специальности
Методические рекомендации по дипломному проектированию и выполнению выпускных квалификационных работ для студентов всех форм обучения...
Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов iconМетодические рекомендации по дипломному проектированию и выполнению выпускных квалификационных работ для студентов всех форм обучения по специальности
Методические рекомендации по дипломному проектированию и выполнению выпускных квалификационных работ для студентов всех форм обучения...
Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов iconМетодические рекомендации по выполнению контрольной работЫ №3 по курсу
Общие методические указания по изучению курса математики и правила выполнения контрольных работ
Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов iconМетодические рекомендации по подготовке, выполнению и защите курсовой работы для студентов, обучающихся по специальности
Козина О. А. Методические рекомендации по подготовке, выполнению и защите курсовой работы для студентов, обучающихся по специаль­ности...
Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов iconМетодические рекомендации по выполнению и оформлению дипломных работ для студентов всех форм обучения
В «Методических рекомендациях» рассматриваются порядок подготовки дипломных работ/проектов к защите, основные правила изложения и...
Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов iconМетодические рекомендации по подготовке контрольной работы по отечественной истории тематика контрольных работ для студентов зо
«Отечественная история». Основная цель таких заданий – изучение отдельных проблем курса в целях формирования навыков аналитической...
Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов iconМетодические рекомендации для студентов практического занятия по теме: «Общие основы массажа. Техника приемов поглаживания и растирания.»
Дидактическая база занятия: методические рекомендации для преподавателя и студентов к практическому и семинарскому занятию, учебники,...
Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов iconМетодические указания по выполнению контрольных работ Список литературы Цели и задачи курса
Охватывает разработка стратегического плана. Сиюминутные стратегические
Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов iconМетодические рекомендации для ее выполнения Для студентов всех форм обучения
Задания к контрольной работе по дисциплине «введение в профессионально-педагогическую специальность» и методические рекомендации...
Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов iconПрактикум по анализу художественного произведения Методические рекомендации по выполнению письменных работ
Пояснительная записка
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов