В. Г. Белинского Султанов А. Я. Дополнительные вопросы алгебры. Оператор конечной разности Учебно-методическое пособие icon

В. Г. Белинского Султанов А. Я. Дополнительные вопросы алгебры. Оператор конечной разности Учебно-методическое пособие



НазваниеВ. Г. Белинского Султанов А. Я. Дополнительные вопросы алгебры. Оператор конечной разности Учебно-методическое пособие
страница1/2
В. Г. Белинского Султанов А. Я.<><><><><>Дополнительные вопросы
Дата конвертации09.10.2012
Размер0.92 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие
  1   2


Пензенский государственный педагогический

университет имени В. Г. Белинского


Султанов А. Я.


Дополнительные вопросы алгебры.

Оператор конечной разности


Учебно-методическое пособие


Пенза, 2010


Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского

государственного педагогического университета имени В. Г. Белинского


УДК 51(075)


Султанов, А. Я. Дополнительные вопросы алгебры. Оператор конечной разности: Учебно-методическое пособие / А. Я. Султанов. Пенза, 2010.  80 с.


В пособии изложены свойства и приложения оператора конечной разности с постоянным шагом к суммированию функций. Описаны методы суммирования некоторых элементарных функций, приведены примеры суммирования.

Работа предназначена для студентов физико-математических факультетов педагогических университетов, а также будет полезна студентам заочного отделения и других математических специальностей.


Научный редактор: кандидат физ.-мат. наук, доцент, зав. каф. алгебры ПГПУ им. В.Г. Белинского А. А. Ловков


© Султанов А. Я.

© ПГПУ имени В. Г. Белинского


Содержание


Введение…..…….…………………….……………………………..……………4

Глава I

Предварительные сведения

§ 1. Конечные разности………………….……..……………………..…....……..5

§ 2. Обобщённые степени ..………………….………………………………….14

§ 3. Формула Ньютона……………………………...………………..….………20

§ 4. Числа Бернулли………………………..………….………………….……..22

§ 5. Многочлены Бернулли……………..…….…...…....…..…………….…......27

Глава II

Суммирование функций

§ 1. Задача о суммировании и задача нахождения суммирующей функции...32

§ 2. Тождество Абеля………..…………………………………………………..37

§ 3. О решениях уравнения F(x) = f(x)…………...………………..….……….38

Глава III

Суммирование некоторых элементарных функций

§ 1. Суммирование прогрессий…………..……………………………………..43

§ 2. Суммы степеней натуральных чисел…………………………………..…..47

§ 3. Вычисление суммы степеней членов арифметической прогрессии.…….53

§ 4. Суммы произведений членов арифметической прогрессии...…….……..58

§ 5. Суммы произведений чисел, обратных членам арифметической прогрессии………………………………………………………………………………...61

§ 6. Суммирование тригонометрических функций……………………...…….63

§ 7. Суммирование гиперболических функций…………………...…….……..67

§ 8. О суммах значений функций..……………………………………………...69

§ 9. Задача о кратной сумме……………………………..……………………...72

Библиографический список .…………………………………………………76

Введение


В предлагаемом учебно-методическом пособии изложены свойства и приложения оператора конечной разности с постоянным шагом к суммированию функций.

Материал изложен в трех главах. В первой главе дано определение оператора конечной разности первого порядка в алгебре вещественных функций одного аргумента, затем определяются по индукции операторы конечной разности произвольного порядка. Доказаны основные свойства этих операторов. Построен интерполяционный многочлен Ньютона. Этот многочлен имеет важные приложения в теории приближения функций в вопросах суммирования. Введены понятия чисел и многочленов Бернулли, описаны их свойства.

Во второй главе решается задача о суммировании функций. Указаны методы суммирования некоторых функций.

В третьей главе описаны методы суммирования некоторых элементарных функций и приведены примеры суммирования. Рассмотрены вопросы о кратных суммах.


^ Глава I

Предварительные сведения


§ 1. Конечные разности


Рассмотрим функцию f, которая определена для всех значений аргумента, имеющих вид xn = x0 + nh, где x0, h  некоторые фиксированные числа, n  переменная, принимающая целые значения. Число h называется приращением аргумента, иначе  шагом.

Определение 1.1. Выражение f(x0 + (n + 1)h)  f(x0 + nh) называется конечной разностью функции f в точке xn, соответствующей шагу h.

Конечная разность обозначается символом

hf(xn).

Таким образом,

hf(xn) = f(x0 + (n + 1)h)  f(x0 + nh).

В частности, в точке x0 конечная разность имеет вид:

hf(x0) = f(x0 + h)  f(x0). (1)

По индукции можно определить конечные разности произвольного порядка.

Определение 1.2. Конечной разностью порядка k (k  {0, 1, 2, …, n, …}) в точке x0 с шагом h, называется число, обозначаемое символом khf(x0), удовлетворяющее условиям:

  1. 0hf(x0) = f(x0);

  2. khf(x0) = h( f)(x0), k  {1, 2, …, n, …}.

Примеры. 1. Пусть f(x) = c, c = const. Тогда hf(x0) = f(x0 + h)  f(x0) =

= cc = 0. Таким образом, hc = 0.

2. Найдём явное выражение для конечных разностей 1hf(x0), 2hf(x0). По определению имеем:

1hf(x0) = h(0hf)(x0) = 0hf(x0 + h)  0hf(x0) = f(x0 + h)  f(x0) = hf(x0).

Для конечной разности второго порядка:

2hf(x0) = h(1hf)(x0) = 1hf(x0 + h)  1hf(x0) = h f(x0 + h)  h f(x0) =

= f(x0 + 2h)  f(x0 + h)  f(x0 + h) + f(x0) =

= f(x0 + 2h)  2f(x0 + h) + f(x0).

Таким образом,

2hf(x0) = f(x0 + 2h)  2f(x0 + h) + f(x0). (2)

3. Аналогичными рассуждениями можно доказать, что

3hf(x0) = f(x0 + 3h)  3f(x0 + 2h) + 3f(x0 + h)  f(x0). (3)

Действительно, из определения 1.2 следует, что

3hf(x0) = h(2hf)(x0) = 2hf(x0 + h)  2hf(x0).

Далее, учитывая формулу (2), получим

3hf(x0) = f(x0 + h + 2h)  2f(x0 + h + h) + f(x0 + h) 

f(x0 + 2h) + 2f(x0 + h)  f(x0).

Отсюда следует равенство (3).

4. Найдём конечные разности функции f(x) = x3 в точке x0 с шагом h.

h x3(x0) = (x0 + h)3x03 = x03 + 3 x02h + 3 x0h2 + h3x03.

Отсюда

hx3(x0) = 3x02h + 3x0h2 + h3.

Далее,

2hx3(x0) = h(hx3)(x0) = hx3(x0 + h)  hx3(x0) =

= 3(x0 + h)2h + 3(x0 + h)h2 + h3 3x02h  3x0h2h3 =

= 6x0h2 + 6h3.

Найдём конечную разность третьего порядка.

3hx3(x0) = h(2hx3)(x0) = 2hx3(x0 + h)  2hx3(x0) =

= 6(x0 + h)h2 + 6h3  6x0h2  6h3 = 6h3.

Так как, 3hx3(x0) = const, то

khx3(x0) = 0

при k > 3.

Обозначим через (R) множество всех функций, заданных на R. Две функции f и g будем называть равными и обозначать f = g, если совпадают их области определения и для каждого числа x0 из области определения f(x0) = g(x0). Если функции f и g нигде не определены, то есть D(f) = D(g) = , то их будем считать равными.

На множестве (R) введём операции сложения, умножения на числа и умножения функций условиями:

  1. a D(f)  D(g)  (f + g)(a) = f(a) + g(a);

  2.   R, aD(f) (f)(a) = (f(a));

  3. a D(f)  D(g)  (f g)(a) = f(a) g(a).

Множество (R), с введённой операцией сложения, является полугруппой с нейтральным элементом. Операция умножения на числа удовлетворяет тождествам: (f + g) = f + g,

( + )f = f + f,

 (f) = () f,

1f = f,

а операция умножения  линейна по каждому аргументу. Будем говорить, что множество (^ R), с введёнными выше операциями является алгеброй функций.

Определим в алгебре (R) оператор h: f  hf условиями

hf(x0) = f(x0 + h)  f(x0)

для каждых x0, x0 + hD(f).

Аналогично определим операторы kh условиями определения 1.2.

Отметим основные свойства операторов kh.

Предложение 1.1. Для любых функций f, g и R имеют место тождества

(а) kh(f + g) = khf + khg;

(б) kh(f) = khf;

(в) kh(lh(f)) = k+lhf.

Доказательство. Доказательство этих свойств проведём методом математической индукции по k.

(а). Пусть k = 0, тогда 0h(f + g) = f + g = 0hf + 0hg.

Предположим, что для каждого фиксированного значения порядка, не превосходящего k, равенство (а) выполняется. Докажем, что оно выполняется и для конечных разностей порядка k + 1.

k + 1h(f + g)(х0) = h(kh(f + g))(х0).

Далее, используя индуктивное предположение,

h(kh(f + g))(х0)= h(khf + khg)(х0).

Для разности первого порядка выполняется равенство:

h(khf + khg)(х0) = h(khf )(х0) + h(khg)(х0) =

= k + 1h(f )(х0) + k + 1h(g)(х0).

Таким образом, условие (а) данного предложения верно для разности любого порядка.

Условие (б) доказывается аналогично. По определению 1.1:

h(f)(x0) = (f)(x0 + h)  (f)(x0) = (f(x0 + h))  (f(x0))= hf(x0).

k + 1h(f)(х0) = h(kh(f))(х0) = h(kh(f))(х0)= h(khf)(х0) =

= h(khf)(х0) = hk + 1f(х0).

Соотношение (в) докажем также методом математической индукции по k. Пусть k = 0. Из определения 1.2 следует, что

.

Отсюда получаем, что равенство (в) верно при k = 0.

Предположим, что для любого фиксированного значения k выполняется (в).

Проверим справедливость равенства (в) для k + 1:

.

Тождество (в) доказано.

Формулы, полученные в примерах 2 и 3, а также формула (1) допускают обобщения, а именно имеет место

Предложение 1.2. Пусть x0 + thD(f) (t = 0, 1, …, n). Тогда



, (4)

где  биномиальные коэффициенты, определённые по формуле .

Доказательство проведём методом математической индукции по k = 0, 1, ….

При k = 0 формула примет вид:

.

Пусть для каждого фиксированного значения k верно равенство (4). Докажем, что оно имеет место и для k + 1:



В силу индуктивного предположения конечные разности и представим по формуле (4). Тогда



+





.

На основании тождества

получим



.

Таким образом, равенство (4) имеет место и для k +1. Предложение 1.2 доказано.

Следствие. .

Пример 4 допускает обобщение.

Предложение 1.3. Имеет место тождество

, где Рm 2(x)  многочлен степени m  2.

Доказательство. Из определения конечной разности и формулы бинома Ньютона получим





= .

Следствие. Пусть  многочлен над полем действительных чисел со старшим коэффициентом ≠ 0, тогда hf(x)  многочлен степени n1 со старшим коэффициентом annh.

Из предложения 1.3 следует, что

, …,

, (km1).

При k = m  1 получим

,

где Р0  многочлен нулевой степени. Отсюда



при k > m.

Таким образом, имеет место следующая формула.

(5)

В случае, когда f(x)  многочлен степени n со старшим коэффициентом an, получим

(6)

Рассмотрим обратную задачу. Выразим f(x0 + nh) через конечные разности . Для n = 1, из определения конечной разности следует, что

f(x0 + h) = = ;

для n = 2 из соотношения

f(x0 + 2h)  2 f(x0 + h) + f(x0)

получим

f(x0 + 2h) =  f(x0) + 2 ( ) +

= + .

Методом математической индукции докажем, что для любого n имеет место равенство

f(x0 + nh) = . (7)

При n = 0 формула (7) верна.

Предположим, что формула (7) имеет место для всех kn. Докажем, справедливость формулы для k = n + 1. При этом воспользуемся формулами , = 0 для m > n или m = 1, 2, ….

f(x0 + (n + 1)h) = f((x0 + n h) + h) = =

= = =

= =

= .

Соотношение (7) доказано. Оно называется обращением соотношения (4). Равенство (7) символически можно записать следующим образом:

f(x0 + nh) = (0h + h)n f(x0)

где (0h + h)n вычисляется формально по формуле бинома Ньютона.

В случае h = 1 формула (7) примет вид

f(x0 + n) = . (8)

Если f(x) = xm, то из (7) следует

(x0 + nh)m = .

Из этого равенства при h = 1 получим

(x0 + n)m = . (9)

В частности, для x0 = 0 имеем

nm = . (10)

Определение 1.3. Числа обозначаются через , называются числами Моргана, соответствующими шагу h.

Пример. 5. Прямыми вычислениями можно установить следующие равенства.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Задачи


1. Докажите, что fg = f(g s) + fg, где s(x) = x + 1.

2.hfg = hf(g sh) + fhg, где sh(x) = x + h.

3. Найдите конечные разности.

  1. 2x2;

  2. x3;

  3. hsin x;

  4. hcos x;

  5. harctg x;

  6. h3x;

  1. hx ax;

  2. 2hx2;

  3. 2hx3;

  4. h0m;

  5. 2h0m;

  6. 3h0m;hsh x;

  7. hch x;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. hx(x + h).

4. Используя тождество, докажите, что .

5. Дана функция f, определённая условием

f(x) = (2x + 1)5x.

Найдите числа , , такие, чтобы

2hf + 1hf + 0hf = 0

в случаях

а) h =1;

б) h = 1;

в) h = 2;

г) h = .

6. Докажите равенства примера 5.

§2. Обобщённые степени


В задачах интерполирования, суммирования функций используются обобщённые степени.

Определение 2.1. Обобщённой k-ой степенью (k-натуральное число) с шагом h числа x называется число x (x h) (x  2h) … (x  (k  1)h).

Обобщённая степень обозначается символом . При h = 1 обобщённая степень обозначается символом . Заметим, что



Из определения следует, что обобщённая степень с показателем k представляет собой произведение k сомножителей. При h = 0 . По определению считается , для х  0.

Предложение 2.1. Конечная разность первого порядка обобщённой степени удовлетворяет тождеству

.

Доказательство. По определению конечной разности первого порядка найдём

.

Следствие 2.1. Конечная разность порядка s обобщённой степени удовлетворяет тождеству

, (sk). (11)

Доказательство проведём методом математической индукции по s.

При s = 0 утверждение очевидно. При s = 1 из предложения 2.1 следует, что .

Предположим, что равенство (11) верно при фиксированном значении s.

Докажем, что равенство (11) имеет место и для s + 1. Используя индуктивное предположение и свойство линейности конечной разности первого порядка, получим



Учитывая, что , придём к равенству .

Таким образом, равенство (11) верно для всех sk.

Следствие 2.2. Если s > k, то

.

Доказательство. Из формулы (11) при k = s, получим . Отсюда следует, что .

Таким образом, на основании результатов этих следствий, приходим к выводу:



Наряду с обобщённой степенью x(k; h) рассмотрим ещё одну степень.

Определение 2.2. Символом Похгаммера называется обобщенная степень, обозначаемая x[k; h], определённая условием:

x[k; h] = x (x + h)…(x + (k  1)h).

Если k = 0, по определению, x[0; h] = 1; если h = 1, то символ обозначается через x[k].

Имеют место следующие тождества

hx[k; h] =kh(x + h)[k 1; h], (12)

mhx[k; h] =k(m)hm(x + mh)[k m; h]. (13)


Задачи


  1. Докажите тождество (12).

  2. Докажите тождество (13).

  3. Докажите следующие тождества:

а) 1[k] = k!;

б) n[k] = ;

в) ;

г) ;

д) a[n + k] = a[n] (a + n )[k];

е) ;

ж) ;

з) .

  1. Введём символы x(n), x[n] условиями

, соответственно.

Проверьте, что имеют место равенства



а) для n = 0, 1, 2, 3;

б) докажите указанные тождества методом математической индукции.


Введём обобщённую степень с отрицательным целым показателем.

Определение 2.3. Обобщённой степенью числа x  0 с показателем k (k = 1, 2, …, n, …) и шагом h называется число



и обозначается символом .

Если h = 0, то , то есть обобщённая степень совпадает с обычной степенью. При h = 1 обобщённая степень с показателем k обозначается символом .

Для конечной разности первого порядка обобщённой степени с отрицательным показателем имеет место следующее:

Предложение 2.2. Конечная разность первого порядка удовлетворяет тождеству

.

Доказательство. На основании определения обобщённой степени с отрицательным показателем и определения конечной разности первого порядка, имеем





.

Доказанные свойства обобщённых степеней будут в дальнейшем использоваться при суммировании функций.

Введём символ x[k; h] условием

.

При k = 1 введённую обобщенную степень обозначим через x[k].

Непосредственными вычислениями можно установить, что

hx[k; h] = kh (x + h)[k1; h].


Задачи


1. Найдите значение выражения:

а) ; ;

б) ; ;

в) ; ;

2. Найдите значение выражения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Докажите равенство .

Разложим обобщённую степень x(n) по степеням xk (k = 0, 1, …, n):

.

Определение 2.4. Коэффициенты s(n, k) этого разложения называются числами Стирлинга первого рода. По определению полагаем s(0, 0) = 1 и s(n, k) = 0 n < k.

Определение 2.5. Числа Стирлинга второго рода определяются как коэффициенты разложения степени xn по обобщенным степеням x(k) (k = 0, 1, …, n): .

Задачи


1. Докажите, что

а) ;

б) .

2. Покажите, что .

3. Пусть (an), (bn)  последовательности.

а) Докажите, что если то .

б) Докажите утверждение обратное к а).

в) Покажите, что ak = 0 при k > n; аналогично bk = 0 при k > n.

4. Используя тождество x(n + 1) = (xn)x(n), выведите тождества

а) s(n + 1, r) = s(n, r  1)  ns(n, r),

б) (n + 1, r) = (n, r  1) + r(n, r).

5. Докажите, что числа s(n, k) удовлетворяют тождеству

.

Указание. Воспользуйтесь биномиальным рядом , где

и разложением в ряд функции .

6. Докажите, что числа (n, k) удовлетворяют тождеству

.

Указание. Используйте соотношения kext = (et  1)kext (проверьте!) и kx(n) = n(k) x(n k).

§3. Формула Ньютона


Рассмотрим следующую задачу. Пусть функция y = f(x) определена в точках (t = 0, 1, …, n), где h – фиксированное число (шаг интерполяции) и . Найти многочлен Pn(x) степени не выше n, принимающий в точках значения (t = 0, 1, …, n).

Прежде, чем перейти к отысканию многочлена Pn(x), заметим, что на основании предложения 1.2 находим .

Ньютоном был предложен следующий способ построения многочлена Pn(x).

Будем искать Pn(x) в виде



. (14)

Коэффициенты a0, a1, …, an подлежат определению. Прежде, чем перейти к нахождению этих коэффициентов, преобразуем выражение

, (l = 0, 1, …, n  1).

Так как , то



Отсюда, используя понятие обобщённой степени с положительным показателем, получим

.

Теперь равенство (14) можно представить следующим образом:

. (15)

В равенстве (15) положим x = x0. Тогда

Pn(x) = a0 = f(x0).

Для определения коэффициента a1 найдём конечную разность первого порядка многочлена Pn(x). При этом воспользуемся предложением 2.1 и его следствием 2.1.

.

Положим в этом равенстве x = x0:

.

Отсюда находим a1:

.

Для конечной разности порядка s в точке x0 многочлена Pn(x) на основании следствия 2.2 будем иметь



Но , поэтому

(s = 1, 2, …, n).

Эта формула может быть использована и для a0: a0 = f(x0),



Таким образом, все коэффициенты многочлена Pn(x) найдены, а сам многочлен примет вид:

. (16)

Этот многочлен называется интерполяционным многочленом Ньютона.

Для практического использования формулу Ньютона записывают в преобразованном виде. Для этого введём переменную .

Тогда

…

.

Учитывая это, равенство (16) примет вид:

. (17)

В таком виде будем использовать формулу Ньютона. Из полученной формулы следует, что .


Задачи


1. Выразите х2, х3, х4 через обобщенные степени x(s):

2. Выразите x(2), x(3), x(4) через xk.


§4. Числа Бернулли


Рассмотрим функцию . В окрестности нуля эту функцию можно разложить в степенной ряд

, │t│ . (18)

Определение 4.1. Коэффициенты Bk ряда (18) называются числами Бернулли.

Опишем алгоритм вычисления чисел Бернулли. Сначала равенство (18) представим в следующем виде:

. (19)

Используя разложение et в ряд Маклорена, получим

.

Учитывая это, равенство (19), после сокращения на t, примет вид:

.

Полученное тождество изучим подробнее.

.

По правилу умножения степенных рядов правую часть этого равенства представим в виде степенного ряда:

(20)

Легко установить, что коэффициент при имеет следующий вид:

(s > 0). (21)

Сравнивая коэффициенты при t из тождества (20), получим (в силу единственности разложения функции в ряд):

B0 = 1.

(s > 0). (22)

Равенства (22) могут быть использованы для вычисления чисел Бернулли.

Равенство (22) можно преобразовать таким образом, чтобы получить формулу, удобную для запоминания. Для этого к обеим частям равенства (22) прибавим и затем обе части полученного равенства умножим на . В результате чего придём к равенству

. (23)

Рассмотрим степень . По формуле бинома Ньютона разложим

.

Правая часть полученного равенства отличается от левой части равенства (23) тем, что у переменной B показатели степеней совпадают с индексами в равенстве (23). Поэтому можно равенство (23) условно записать в виде равенства

, (24)

которое после развёртывания левой части преобразованием, приводящим показатель степени в соответствующий индекс, приведёт к равенству (23).

Пример. 6. Рассмотрим задачу о вычислении нескольких первых чисел Бернулли.

При s = 1 формула (24) имеет вид . Отсюда

.

Из этого равенства, на основании соглашения о показателях степеней и индексах, получим . Значит, . Отсюда следует, что

.

При s = 2: . По формуле бинома Ньютона получим . Значит, . Отсюда . Тогда

.

Пусть s = 3: , . Отсюда находим следующее соотношение, связывающее числа Бернулли: Подставив в это равенство найденные числа , получим 4В3 + 1  2 + 1 = 0. Отсюда находим, что

В3 = 0.

Аналогичными рассуждениями можно найти В4, В5, ….

Отметим некоторые свойства чисел Бернулли.

Предложение 4.1. Числа Бернулли с нечётными номерами, за исключением числа , равны 0.

Доказательство. Рассмотрим соотношение

, │t│ . (25)

Заменим в этом равенстве t на  t. Тогда

. (26)

С другой стороны,



Из этого равенства и равенств (25) и (26) получим

.

Более подробно это равенство имеет вид:



Отсюда, на основании равенства рядов, получим



(k ≠ 1). (27)

Первое равенство выполняется в силу того, что .

Из равенств (27) при k = 2m + 1 (m = 1, 2, …), имеем

.

Отсюда

.

Если k = 2m (m = 0, 1, 2, …), то (27) принимает вид .

Таким образом, предложение 4.1 доказано.

Отметим без доказательства свойство чисел Бернулли с чётными номерами.

Предложение 4.2. Для чисел Бернулли с чётными номерами верно следующее равенство

(m = 1, 2, …).

Здесь

Из предложения 4.2 следует, что если m  положительное чётное число, то

,

если m  положительное нечётное число, то

.

Таким образом,

при m = 2p имеет место неравенство

(p = 1, 2, …),

при m = 2q + 1 (q = 0, 1, 2, …)  неравенство

:

,….

Отметим ещё одно свойство чисел Бернулли.

Предложение 4.3. Имеет место следующее представление чисел Бернулли через числа Моргана

(k = 1, 2, …).


§5. Многочлены Бернулли


Рассмотрим функцию . Известно, что в окрестности точки t = 0 эта функция может быть разложена в степенной ряд:

. (28)

Выясним строение функций Bk(x). Для этого используем разложение по степеням t функций и etx:

,

.

Используя правило умножения степенных рядов, получим



. (29)

Коэффициенты при t в разложениях (28) и (29) равны, поэтому

,

(n > 0).

Умножив обе части последнего соотношения на n!, получим

.

Таким образом, в разложении (28) функции Bn(x) представляют собой многочлены степени n относительно x.

Определение 5.1. Многочлены Bn(x) называются многочленами Бернулли.

Коэффициентами многочлена Бернулли являются произведения биномиальных коэффициентов и чисел Бернулли.

Примеры. 7. Многочлен Бернулли первой степени имеет вид:

,

то есть, .

8. Многочлен Бернулли второй степени:



или .

9. Многочлен Бернулли третьей степени имеет вид:

,

Значит,

Для конечной разности первого порядка многочлена Бернулли имеет место следующее

Предложение 5.1. Конечная разность первого порядка многочлена Бернулли удовлетворяет тождеству

.

Доказательство. Рассмотрим разность f(t, x + 1) – f(t, x). Вычислим её двумя способами. По формуле (28) найдём

f(t, x + 1) – f(t, x) . (30)

Из определения функции f, имеем

f(t, x + 1) – f(t, x) . (31)

Используя разложение (31), получим



поэтому

f(t, x + 1) – f(t, x) . (32)

Равенства (30) и (32) приводят к равенству

. (33)

Так как , то , поэтому равенство (33) можно переписать следующим образом: . В полученном равенстве в правой части в качестве индекса суммирования возьмём s = k + 1. Тогда

.

Отсюда из единственности разложения функций в ряд получим

.

Значит, (s = 1, 2, …).

Это равенство остаётся в силе и при s = 0. Предложение 5.1 доказано.

Из доказанного предложения следует формула

(34)

Пусть f(x) – многочлен степени n: f(x) = , . Тогда, используя равенство (34), это равенство можно представить следующим образом:

f(x) = .

В силу линейности оператора , получим



Эта формула используется при суммировании функций.


Задачи


1. Определите знаки чисел Бернулли B26, В28, В2012.

2. Докажите, что = nBn1(x).

3. Проверьте тождество Bn(1  x) = (1)nBn(x).

4. Докажите, что имеет место тождество для значений m = 1, 2, 3 и для произвольного m.

5. Рассмотрим разности

Bn(x)  Bn. (35)

Докажите:

а) если n  нечётное, то разность (35) на отрезке [0, 1] обращается в нуль только в точках 0, , 1;

б) в точке разность (35) меняет знак;

в) если n  чётное, то разность (35) обращается в нуль только на концах отрезка [0, 1], а на интервале (0, 1) сохраняет свой знак;

г) при чётном n (35) принимает наибольшее по абсолютной величине значение в точке .

6. Докажите, что на интервале (0, 1) многочлены B2n(x)  B2n и B2(n + 1)(x)  B2(n + 1) имеют противоположные знаки.

7. Докажите, что Bn(1) = (1)nBn.

8. Имеет место тождество

, .

а) Проверьте справедливость этого равенства при n = 1, 2, 3.

б) Докажите для любого n.

9. Докажите, что число  целое, (n  0).

10. Имеет место более сильное утверждение: число  целое.

11. Докажите, что  многочлен с целыми коэффициентами.

  1   2



Похожие:

В. Г. Белинского Султанов А. Я. Дополнительные вопросы алгебры. Оператор конечной разности Учебно-методическое пособие iconВ. Г. Белинского Н. Д. Никитин основы алгебры учебное пособие
...
В. Г. Белинского Султанов А. Я. Дополнительные вопросы алгебры. Оператор конечной разности Учебно-методическое пособие iconУчебно-методическое пособие по дисциплине «Основы педагогического мастерства» Авторы-составители: Колоколова Е. В
Данное учебно-методическое пособие является не только источником информации для усвоения, но и выполняет функцию организации творческого...
В. Г. Белинского Султанов А. Я. Дополнительные вопросы алгебры. Оператор конечной разности Учебно-методическое пособие iconУчебно-методическое пособие на 16 л., в 1 экз. Начальник Главного управления полковник внутренней службы п-п О. А. Рожков Исп. Никифоров М. М. Тел. 47-64-62 Дело №3-3-3
Данное учебно-методическое пособие содержит материал, для познания исторического развития Гражданской обороны, ее цели и основные...
В. Г. Белинского Султанов А. Я. Дополнительные вопросы алгебры. Оператор конечной разности Учебно-методическое пособие iconУчебно-методическое пособие для студентов специальности 031300 «Социальная педагогика»
Данное учебно-методическое пособие предназначено для преподавателей и студентов высших учебных заведений
В. Г. Белинского Султанов А. Я. Дополнительные вопросы алгебры. Оператор конечной разности Учебно-методическое пособие iconУчебно-методическое пособие для студентов-филологов Специальность: 032900 «Русский язык и литература»
Русское устное народное творчество: Учебно-методическое пособие для студентов-филологов / А. В. Максимов. – Смоленск: Изд-во СмолГУ,...
В. Г. Белинского Султанов А. Я. Дополнительные вопросы алгебры. Оператор конечной разности Учебно-методическое пособие iconУчебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с основными требованиями государственного стандарта высшего профессионального образования II поколения
П педагогическая практика: учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по специальности «Социальная педагогика» /сост....
В. Г. Белинского Султанов А. Я. Дополнительные вопросы алгебры. Оператор конечной разности Учебно-методическое пособие iconУчебно-методическое пособие / авт кол. А. Г. Гогоберидзе [и др.]. М. Центр педагогического образования, 2008. 48 с
Перечень оборудования, учебно-методических материалов для доу. 1-я и 2-я группы раннего возраста [Текст] : учебно-методическое пособие...
В. Г. Белинского Султанов А. Я. Дополнительные вопросы алгебры. Оператор конечной разности Учебно-методическое пособие iconДополнительные вопросы алгебры. Рекуррентные последовательности
Строится алгебра формальных рядов. В каждом разделе приведены решения типовых задач
В. Г. Белинского Султанов А. Я. Дополнительные вопросы алгебры. Оператор конечной разности Учебно-методическое пособие iconПрограмное и учебно-методическое оснащение учебного плана по предмету мбоу рыбинская оош
Методическое пособие к учебнику по изобразительному искусству 1 класс Под редакцией Неменского бм
В. Г. Белинского Султанов А. Я. Дополнительные вопросы алгебры. Оператор конечной разности Учебно-методическое пособие iconПрограмное и учебно-методическое оснащение учебного плана по предмету мбоу рыбинская оош. Начальное общее образование
Методическое пособие к учебнику по изобразительному искусству 1 класс Под редакцией Неменского бм
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы