Вариант №5 Задача №1 icon

Вариант №5 Задача №1



НазваниеВариант №5 Задача №1
страница1/3
Дата конвертации08.10.2012
Размер286.5 Kb.
ТипЗадача
  1   2   3

Купить выполненную работу можно у администратора http://vk.com/mathema


Вариант №5

Задача №1

Вычислить двойной интеграл от функции по заданной области :

, .

Задача №2

Вычислить объём тела с помощью кратного интеграла, используя подходящую замену переменных:

.

Задача №3

Вычислить криволинейный интеграл I рода по плоской кривой :

,  – граница треугольника с вершинами (0,0), (0,1), (1,0).

Задача №4

Вычислить криволинейный интеграл по меньшей дуге единичной окружности, заключённой между точками и и ориентированной в направлении от точки к точке :

, , .

Задача №5

Вычислить криволинейный интеграл по окружности , ориентированной по часовой стрелке:

.

Задача №6

Вычислить поверхностный интеграл 2 рода по внутренней стороне сферы :

.



Задача №7

Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Задача №8

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию .

Задача №9

Решить задачу Коши:

, .

^ Задача №10

Найти общее действительное решение однородного дифференциального уравнения: .

Задача №11

Количество продукции, поступающей на обработку от трех цехов, определяется соотношением 3:4:5. На 100 единиц продукции первого цеха приходится в среднем 3 единицы брака , второго и третьего цехов , соответственно, 2 и 4 единицы. Наудачу взятая единица продукции оказалась годной. Какова вероятность того, что она поступила из второго цеха?

^ Задача №12

Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Оценить вероятность того, что событие в 100 испытаниях наступит не менее 20 раз и не более 30 раз.

Задача №13

Случайная величина может принимать только два значения и , причём . Известны вероятность возможного значения , математическое ожидание и дисперсия . Найти закон (ряд) распределения этой случайной величины: .

Задача №14

Случайная величина задана функцией распределения , требуется:

1) найти плотность вероятности;

2) математическое ожидание и дисперсию ;

3) построить графики функции распределения и функции плотности распределения.

.

Задача №15

Заданы математическое ожидание и средне квадратическое отклонение нормально распределённой величины . Найти: 1) вероятность того, что примет значение, принадлежащие интервалу ; 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения окажется меньше .

.

^ Задача №16

Провести исследование генеральной совокупности, используя выборочные данные соответствующего варианта.

1) Построить статистическое распределение выборки и гистограмму частот (шаг указан в варианте).

2) Дать точечные оценки генеральному среднему и дисперсии.

3) Предполагая, что выборка сделана из нормальной совокупности, построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии нормального распределения, приняв доверительную вероятность .

4) При уровне значимости =0,01 проверить гипотезу о нормальности генеральной совокупности, используя критерий согласия Пирсона [9].

Выборка объёма , начало первого интервала , шаг .

34

14

–14

10

9

29

27

–1

–4

17

23

13

18

–17

–22

1

8

–9

3

11

6

26

6

8

16

19

22

–8

23

–5

17

–21

–20

–17

16

3

6

25

0

4

5

6

–21

–2

8

–6

11

3

–2

17

13

8

27

11

9

12

12

–1

25

4

19

–8

29

0

–13

0

9

26

19

29

9

22

30

13

19

–1

–10

20

–7

21

10

8

–5

–2

9

–10

1

12

8

35

11

15

13

2

–5

–12

11

9

34

9

–2

–20

–4

–2

19

31

31

–11

–7

23

–20

–2

–12

–3

13

–7

15

8

–9

19

–8

–12

8

30

–22

18

–9

19

17

28

26

6

–7

0

–9

7

11

20

23

12

19

52

–10

32

29

33

3

–8

5

–4

9

18

–16

0

–8

25

32

26

–1

–5

6

–5

21

9

17

21

33

7

19

–2

6

14

8

14

27

16

–6

8

–2

–3

–16

–22

–7

13

20

18

1

4

–4

2

20

14

28

–9

–2

34

–16

–9

5

20

–8

25

7

19

5

12

–2

5

25

1

6

–7

4

–14

3

2

24

–5

4

24

30

21

7

27

12

36

13

–2

18



































Купить выполненную работу можно у администратора http://vk.com/mathema


^ Решение примерного варианта

Задача №1

Вычислить двойной интеграл от функции по заданной области :

, .

Решение

Вид области представлен на рисунке 4.



Рисунок 4

Представим двойной интеграл через повторный:



.

Первый интеграл возьмём по частям:



.

.

Откуда .


Задача №2

Вычислить объём тела с помощью кратного интеграла, используя подходящую замену переменных:

.

Решение

По определению тройного интеграла объём области вычисляется по формуле:

.

Область представляет из себя конус, проекция которого на плоскость является кругом : (см. рисунок 5).



Рисунок 5

Тогда



.

Первый из интегралов равен по определению удвоенной площади круга , т.е. . Для вычисления второго интеграла перейдём к полярным координатам, связанными с декартовыми координатами формулами:

.

По формуле замены переменных в двойном интеграле [1]:

,

где  – якобиан замены,  – прообраз области в координатах , т.к. область , то . Откуда

.

Окончательно: .

Задача №3

Вычислить криволинейный интеграл I рода по плоской кривой :

,  – ломаная с вершинами в точках A(0,0), B(0,1), C(1,1).

Решение

По свойствам аддитивности и линейности криволинейного интеграла первого рода имеем:

.

Уравнение отрезка : , уравнение отрезка : . Тогда по формуле вычисления криволинейного интеграла 1-рода:

,

.

Окончательно .

Задача №4

Вычислить криволинейный интеграл по меньшей дуге единичной окружности, заключённой между точками и и ориентированной в направлении от точки к точке :

, , .

Решение

Зададим уравнение дуги единичной окружности параметрически: , , . Ориентация дуги при этом будет удовлетворять условию задачи. Тогда по формуле вычисления криволинейного интеграла 2-рода имеем:







.

Задача №5

Вычислить криволинейный интеграл по окружности , ориентированной по часовой стрелке:

.

Решение

По формуле Грина, которая в данной задаче применима, т.к. кривая кусочно-гладкая, а функции и  – непрерывны вместе с частными производными и в замкнутом круге : [1], имеем:

,

знак «–» перед двойным интегралом объясняется тем, что формула Грина верна при положительной ориентации границы области , что в нашей задаче совпадает с ориентацией окружности против часовой стрелки, а по условию надо подсчитать значение интеграла при противоположной ориентации окружности.

 – площадь единичного круга.

Задача №6

Вычислить поверхностный интеграл 2 рода по внутренней стороне сферы :

.

Решение

По формуле, задающей связь между поверхностным интегралами первого и второго рода [1], имеем:

,

где  – косинус угла между единичной нормалью к сфере в заданной её точке и осью . По свойству сферы в нашей задаче , тогда



,

где  – уравнение сферы,  – проекция двух полусфер и на плоскость .

Тогда



.

С другой стороны можно применить формулу Остроградского-Гаусса:



, где  – шар радиуса единица,  – проекция шара на плоскость . Последний интеграл совпадет с рассмотренным выше с точностью до обозначения переменных и, следовательно, также равен нулю.

Задача №7

Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Решение

Данное уравнение является однородным. Необходимо произвести замену , где  – новая функция. В силу замены . Подставляя в уравнение, получим уравнение относительно неизвестной функции :

 – уравнение с разделяющимися переменными.

.

Подстановкой в уравнение убеждаемся, что функции  – решения уравнения.







.

Подставляя в выражение для решения имеем:



.

Возвращаясь к исходным переменным и учитывая все решения, получим общее решение уравнения:

.

Задача №8

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию :

.

Решение

Запишем уравнение в приведённом виде:

 – уравнение Бернулли.

Замена . Поделим уравнение на и используем замену:

.

Полученное уравнение линейное уравнение первого порядка. Решим однородное уравнение , . Общее решение найдём методом вариации произвольной постоянной . Полагая, ищем общее решение в виде , где неизвестная функция. Подставляя в неоднородное уравнение, получим:

, .

Отсюда общее решение линейного уравнения:

.

Возвращаясь к исходной переменной, имеем:  – общее решение исходного уравнения. Подставляя начальное условие, находим , тогда  – решение задачи.

Задача №9

Решить задачу Коши:

, .

  1   2   3




Похожие:

Вариант №5 Задача №1 iconЗадача 1 задача 2 задача 3 задача 4 задача 5
Вычислить момент инерции твёрдого тела y(x) при х изменяющемся от a и b. Построить график этой функциональной зависимости на интервале...
Вариант №5 Задача №1 iconКонтрольная работа Вариант 4 Задача №1

Вариант №5 Задача №1 iconОглавление Задача №1 стр Задача №2 стр Задача №3 стр Задача №4 стр Задача №5 стр
Даны действительные числа X, y. Определить, принадлежит ли точка с координатами (X, y) заштрихованной области
Вариант №5 Задача №1 iconЗадача №1 Задача №2 Задача №3 Задача №4 Задача №5
Число оборотов двигателя зависит от температуры x. Вычислить число оборотов двигателя y(x) при температуре a и b. Построить график...
Вариант №5 Задача №1 iconЗадача №1 задача №2 задача №3 задача №4 задача №5
Число оборотов двигателя y функционально зависит от температуры x. Вычислить число оборотов двигателя y(x) при температуре a и b....
Вариант №5 Задача №1 iconЛабораторная работа по информатике Excel студентка гр. Экл-31 Ковалева Диана Оглавление Задача №1 Задача №2 Задача №3

Вариант №5 Задача №1 iconЗадача по теме Записи. Найдите свой вариант. И оформите задачу в Текстовом редакторе
Условие (напечатайте!). Решение с комментариями. Текст из файла. Скриншот из Паскаля с результатами
Вариант №5 Задача №1 iconВариант 15 Задача №1
Определить низшую теплоту сгорания рабочего топлива, если известна его высшая теплота сгорания Qв и содержание в нем водорода Нр...
Вариант №5 Задача №1 iconВариант 55 Задача №1
Определить низшую теплоту сгорания рабочего топлива, если известна его высшая теплота сгорания Qв и содержание в нем водорода Нр...
Вариант №5 Задача №1 iconВариант 85 Задача №1
Определить низшую теплоту сгорания рабочего топлива, если известна его высшая теплота сгорания Qв и содержание в нем водорода Нр...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов