Лабораторная работа №3. Атом водорода в квантовом описании. Содержание. Атом водорода в квантовом описании. Физика явления. Работа с программой. Отчет icon

Лабораторная работа №3. Атом водорода в квантовом описании. Содержание. Атом водорода в квантовом описании. Физика явления. Работа с программой. Отчет



НазваниеЛабораторная работа №3. Атом водорода в квантовом описании. Содержание. Атом водорода в квантовом описании. Физика явления. Работа с программой. Отчет
Дата конвертации12.01.2013
Размер99.34 Kb.
ТипЛабораторная работа


ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3.

АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОМ ОПИСАНИИ.


СОДЕРЖАНИЕ.


Атом водорода в квантовом описании.

Физика явления.


Работа с программой.


Отчет.


Литература.


Атом водорода в квантовом описании.


Назначение программы.

Создание наглядного образа волновой функции электрона в атоме; визуализация процедуры квантования энергия; исследование и демонстрация основных закономерностей в спектрах энергии и волновых функциях электронов в кулоновском поле; контроль знаний.


^ Физика явления.

Атом водорода – один из простейших природных микрообъектов, для последовательного описания которого необходимо применять законы квантовой механики. Уравнения квантовой механики позволяют найти в атоме водорода распределение любой физической величины, в частности, определить точные значения энергии уровней.

В дальнейшем рассматривается нерелятивистская задача, т.е. не учитывается наличие у электрона и протона спинов и собственных магнитных моментов, и не учитывается так же взаимодействие атома с полем излучения. Кроме того, мы считаем ядро (протон) бесконечно тяжелым по сравнению с электроном, тем самым сводя проблему к задаче движения электрона в поле неподвижного кулоновского центра.

Напомним основные положения квантовомеханического решения задачи движения частицы в кулоновском поле. Более подробно этот вопрос рассматривается в стандартных курсах квантовой механики и атомной физики [1-3].

Запишем уравнение Шредингера для частицы с массой μ, движущейся в потенциале .

(1)

где

эргсек – постоянная Планка;

– волновая функция частицы;

E – ее полная энергия;

 – оператор Лапласа.

Уравнение (1) для центрально-симметричного поля удобно решать в сферической системе координат r, , .

В поле со сферической симметрией квадрат орбитального момента и одна из его проекций являются интегралами движения. Этим двум сохраняющимся величинам соответствуют квантовые числа l и m. Квадрат орбитального момента «квантуется» и принимает значения , где l целое неотрицательное число l=0, 1, 2… Число l часто называют просто «орбитальным моментом». Состояние с l=0 называются также s-состояниями; l=1 – p-состояниями; l=2 – d-состояниями, l=3 – f-состояниями; далее по алфавиту g, h…Эти названия сложились исторически. Проекция момента на какую-либо ось также квантуется и принимает значения , где, для данного l, значения m пробегают все целые числа от –l до +l. Обычно в качестве оси квантования выбирается ось z.

В сферической системе координат уравнение (1) имеет решения, соответствующие состояниям с орбитальным моментом l и проекцией m на ось z. Эти решения имеют вид

(2)

где - сферические гармоники, зависящие лишь от угловых переменных.

Дадим несколько первых сферических гармоник:

,

,

.

Сферические гармоники ортонормированы условием

,

где интегрирования проводится по поверхности сферы; d-элемент телесного угла: .

Радиальная функция Rl(r) должна удовлетворять «радиальному» уравнению Шредингера, которое после подстановки (2) в (1):

, (3)

где

; (4)

(5)

Второе слагаемое в (5) называется центробежным потенциалом. Поскольку имеет смысл плотности вероятности обнаружить частицу в точке , то, в соответствии с (2) представляет ее угловое распределение.

Конечные в нуле решения уравнения (3) должны вести себя в начале координат так ~rl+2 .

Это следует непосредственно из уравнения (3), если потенциал V(r) в нуле конечен или имеет особенность слабее, чем 1/r2. Как видно из (6) чем больше l, тем медленнее рост функции вблизи начала координат. Это связано с ростом центробежного отталкивающего потенциала в (5), который препятствует частице с нулевым орбитальным моментом подойти к центру.

В соответствии с вероятностной интерпретацией волновой функции при финитном движении частицы должна убывать на бесконечности.

Для электрона в поле с зарядом Z:

(7)

финитное движение имеет место при Е<0. В этом случае убывающие на бесконечности и конечные в нуле решения радиального уравнения (3) существуют лишь при счетном множестве дискретных значений Е. (Уравнение (3) превращается в задачу на собственные значения). Пусть для данного l индекс n нумерует искомые решения в порядке возрастания Е. В атомной физике принято и оказывается удобным для данного l начинать нумерацию с n=l+1, l+2, l+3… Число n называется «главным» квантовым числом. Решение задачи (3) с потенциалом (7) и с оговоренными выше граничными условиями на дает разрешенные значения энергии

n=1, 2, 3… (8)

При других отрицательных значениях Е, решений уравнения (3), убывающих на бесконечности, не существует.

В атомной физике удобно пользоваться «атомными единицами», в которых . Тогда единицей длины будет боровский радиус см, а единицей энергии – ат. ед. энергии эрг. В атомной системе единиц

(9)

другими распространенными внесистемными единицами энергии являются электронвольт (эВ) и ридберг Rу: эВ. Решения уравнения (3), соответствующие энергиям (8) и убывающие на бесконечности, имеют вид

(10)

где – определенного вида полином от х, называемый в теории специальных функций обобщенным полиномом Лагерра;

– нормировочная постоянная, подбираемая таким образом, чтобы выполнялось условие нормировки

(11)

Несколько первых радиальных функций атома водорода имеют вид (Z=1, r – в ат. ед.):

1s:

2s:

2p:

радиальная составляющая плотности вероятности задается формулой

(12)

как следует из (8) и (9), положение уровней энергии для данного главного квантового числа n не зависит от l или m. Независимость энергии от m (т.е. от ориентации момента) является общим свойством центрально-симметричного поля. Действительно, радиальное уравнение (3), из которого и определяются уровни энергии, не содержит m. Независимость же энергии от l (т.е., от значения орбитального момента) для данного n и является специфической особенностью движения частицы в кулоновском поле. Когда энергия уровня не зависит от какого-либо квантового числа, то говорят, что этот уровень «вырожден». Уровень энергии с главным квантовым числом n для бесспиновой частицы, совершающей финитное движение в кулоновском поле, имеет кратность вырождения n2. Например, для n=2 состояния с l=0, m=0, l=1, m=0, 1 имеют одинаковую энергию.

При E>0 движение становится инфинитным. Решения уравнения (3) больше не являются квадратично-интегрируемыми в смысле соотношения (11). Разрешенные значения Е пробегают весь непрерывный спектр E>0. Радиальные функции непрерывного спектра ведут себя вблизи нуля так же, как и функции дискретного спектра (6), но на больших расстояниях не спадают, а имеют осциллирующее поведение.


Работа с программой.


Меню программы.

  1. Введение.

  2. Угловое распределение электронной плотности.

  3. Квантование энергии электрона в кулоновском поле.

  4. Радиальные волновые функции электрона.

  5. Форма электронного облака. Плотность вероятности.

  6. Контроль.

  7. Выход.


Содержание пунктов меню.

1. Введение. Формулируется назначение программы.

2. Угловое распределение электронной плотности. Дается наглядное представление об угловом распределении электронной плотности в состояниях с разными орбитальными моментами l и их проекциями m. Эта часть является универсальной для любого центрально-симметричного поля. На экране воспроизводятся полярные диаграммы квадрата модуля сферических функций (ось z на экране направлена вверх), зависящих только от угла 

(13)

– присоединенные полиномы Лежандра.

На экране в различных окнах можно одновременно наблюдать несколько диаграмм. Для того, чтобы было удобно работать с диаграммой, большие значения l не используются. Зафиксированная диаграмма может быть исследована (на следующем экране) на предмет определения как функции .


^ Квантование энергии электрона в кулоновском поле. Изучаются закономерности спектра энергий кулоновского потенциала. Представлена процедура квантования.

Работа с программой в этом пункте заключается в следующем. Пользователь задает значения Z, l и Е (эВ) (пределы изменения этих параметров заданы в программе). Компьютер решает дифференциальное уравнение (3) путем численной прогонки решения из точки r=0. При этом используется известное поведение в начале координат (6). Результат прогонки изображается на экране. В общем случае при Е<0 решение имеет вид некоторого числа осцилляций с экспоненциальным ростом при больших r. Только в том случае, если Е точно совпадает с одним из собственных значений, то есть совпадает с энергией уровня, решение экспоненциально спадает при больших r. Именно на этом, на асимптотике поведения волновой функции, основана методика нахождения спектра энергетических уровней с помощью компьютера. Если при переборе различных значений Е получено экспоненциальное затухание волновой функции, то данное значение Е является собственным значением энергии стационарного состояния: Е=Еn.

На практике, из-за ошибок округления и счета, любое решение будет при достаточно больших значениях r переходить в режим экспоненциального роста. Обрезая решения при больших r, можно «избежать» этого роста и найти с определенной точностью Еn.

В данном пункте энергия уровня находится с точностью до первых 5-ти значащих цифр (в эВ). Этого достаточно для изучения закономерностей в спектрах уровней энергии для не слишком больших n.


^ 4. Радиальные функции электрона.

Цель данного пункта – иллюстрация радиальных функций частицы в кулоновском поле и исследование некоторых свойств этих функций. На экране компьютера воспроизводятся графики радиальных функций электрона , для заряда ядра Z=1. Орбитальный момент l и главное квантовое число n выбирается пользователем. Предусмотрена возможность запоминания и сравнения графиков функций, изменение масштабов по осям, а также переход к радиальной составляющей плотности вероятности (12).


^ 5. Форма электронного облака.

Под формой электронного облака подразумевается распределение плотности вероятности для электрона в различных точках пространства около ядра.



На экране воспроизводятся в цветовой гамме области одинаковой плотности вероятности (одинакового цвета) в плоскости zx или xy. рассчитывается для различных (небольших) значений n и соответствующих l и |m| и приводятся результаты расчета в виде . Перемещая маркер по экрану, можно получить эти значения в различных точках плоскости.

В отличие от фигур для углового распределения, рассмотренных в 4.2., форма электронного облака выглядит сложнее, отражая одновременно особенности функций и . Демонстрируется трехмерное изображение поверхности равной плотности вероятности.



6. Контроль.

Компьютер генерирует случайным образом квантовые числа n, l, и |m| в пределах и изображает на экране соответствующую радиальную функцию ; ее поведение при малых r указывается на графике. Изображается также угловое распределение . Обучающемуся предлагается определить состояние (назвать n, l, и |m|). Компьютер контролирует правильность ответа.


Литература.

  1. Э.В. Шпольский. Атомная физика. М., Наука, 1984.

  2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. 4-е изд., М., Наука, 1989.



ОТЧЕТ.


Атом водорода в квантовом описании.


Угловое распределение электронной плотности.

Задачи и вопросы.

  1. Чем отличаются угловые распределения при одинаковых l и разных знаках у m?

  2. Сколько наблюдается «лепестков» при заданных l и m? Предложите соответствующую формулу.

  3. Для каких l и m «лепестки» максимально вытянуты:

а) вдоль оси z,

б) перпендикулярно оси z?

  1. Определить углы max, соответствующие максимумам в угловом распределении для l=2 и m=0, 1, 2. Ответ оформить в виде таблицы

l

m

max





























Квантование энергии электрона в кулоновском поле.

Задачи и вопросы.

  1. а) Определите с точностью до 3-го знака после запятой значения первых пяти уровней энергии (в эВ) атома водорода (Z=1) и установите главные квантовые числа этих состояний. Покажите, что Еn не зависит от l;

б) определите, сколько одинаковых значений энергии может быть для данного значения l.

в) Чем отличаются волновые функции с разными l и одинаковой энергией.

  1. Используя калькулятор, определите по формуле энергию (в эВ) уровней для нескольких значений n (например n=3, 4, 5). При данном значении n, а следовательно и Еn, введите в компьютер все возможные значения l.

  2. Подберите формулу, устанавливающую связь между n, l и числом нулей радиальной волновой функции (без учета нуля в начале координат).

  3. Для водородоподобного иона Li (Z=3) определите спектр нижних уровней энергии (первые пять уровней). Установите зависимость от Z.

  4. Установите для |Еn|=13, 606 эВ и s-состояний (l=0) зависимость числа нулей функции от Z.

Для Е>0 исследуйте решение в зависимости от Е, Z, l, по возможности сильно изменяя величины.


Радиальные волновые функции электрона.

Задачи и вопросы.

  1. Опишите общий характер поведения радиальных функций при больших n и различных l.

  2. Установите число узлов в зависимости от n и l.


Форма электронного облака. Плотность вероятности.

Задачи и вопросы.

  1. Исследуйте зависимость распределения зарядового облака от r для состояния 4s. Сравните с радиальной функцией для этого состояния.

  2. Сравните распределение электронного облака для n=4, l=1, |m|=1 и n=4, l=2, m=0 с угловым распределением для l=1, |m|=1 и l=2, m=0. Объясните различия.


Контроль.

Определить состояние (назвать n, l, и |m|).


ПЕРЕЙТИ В НАЧАЛО ИНСТРУКЦИИ.




Похожие:

Лабораторная работа №3. Атом водорода в квантовом описании. Содержание. Атом водорода в квантовом описании. Физика явления. Работа с программой. Отчет iconАтомные модели. Опыт резерфорда. Спектр атома водорода. Атом бора. Атом водорода в квантовом описании

Лабораторная работа №3. Атом водорода в квантовом описании. Содержание. Атом водорода в квантовом описании. Физика явления. Работа с программой. Отчет iconЛабораторная работа №2. Спектр атома водорода. Атом бора. Содержание. Спектр атома водорода. Атом Бора. Физика явления. Первый постулат Бора
Чисто логически нельзя получить никакого знания о реальном мире – всякое знание реальности начинается с опыта и кончается им
Лабораторная работа №3. Атом водорода в квантовом описании. Содержание. Атом водорода в квантовом описании. Физика явления. Работа с программой. Отчет iconЛабораторная работа №6. Атом в магнитном поле. Содержание. Атом в магнитном поле. Физика явления. Слабое поле. Сильное поле
Изучение эффекта Зеемана в слабом и сильном магнитном полях. Предлагается установить различия в спектрах и структуре уровней одноэлектронных...
Лабораторная работа №3. Атом водорода в квантовом описании. Содержание. Атом водорода в квантовом описании. Физика явления. Работа с программой. Отчет iconЛабораторная работа №4. Спектр натрия. Содержание. Спектр натрия Физика явления. Работа с программой. Отчет. Литература. Спектр натрия
Моделирование эксперимента: измерение длин волн спектральных линий в спектре поглощения атома натрия. Определение энергетических...
Лабораторная работа №3. Атом водорода в квантовом описании. Содержание. Атом водорода в квантовом описании. Физика явления. Работа с программой. Отчет iconАльдегиды и кетоны
Альдегиды – органические соединения, в молекулах которых атом углерода карбонильной группы (карбонильный углерод) связан с атомом...
Лабораторная работа №3. Атом водорода в квантовом описании. Содержание. Атом водорода в квантовом описании. Физика явления. Работа с программой. Отчет iconQ в и содержание в нем водорода н р и воды w р. Дано: q в = 37000 кДж/кг, н р = 13,85 %, w p = 1,6 %. Решение
Определить низшую теплоту сгорания рабочего топлива, если известна его высшая теплота сгорания Qв и содержание в нем водорода Нр...
Лабораторная работа №3. Атом водорода в квантовом описании. Содержание. Атом водорода в квантовом описании. Физика явления. Работа с программой. Отчет iconЛабораторная работа №1. 3 3 Лабораторная работа №2 4 Лабораторная работа №3 6 Лабораторная работа №4. 7
Электронное издание значительно дешевле, чем печатное, и изготовление такого издания не связано с расходом трудно возобновимых ресурсов...
Лабораторная работа №3. Атом водорода в квантовом описании. Содержание. Атом водорода в квантовом описании. Физика явления. Работа с программой. Отчет icon1. Что представляет собой альфа-частица? А. Электрон. Б. полностью ионизованный атом гелия
Определите с помощью таблицы химических элементов Д. И. Менделеева, атом какого химического элемента имеет пять протонов в ядре
Лабораторная работа №3. Атом водорода в квантовом описании. Содержание. Атом водорода в квантовом описании. Физика явления. Работа с программой. Отчет iconПо темам: «Патофизиология кислотно-основного состояния»
В случае водорода, один грамм равен одному эквиваленту и таким образом при рН = 0 в литре раствора содержится 0000001 г водорода....
Лабораторная работа №3. Атом водорода в квантовом описании. Содержание. Атом водорода в квантовом описании. Физика явления. Работа с программой. Отчет iconЗанятие 2 10-й класс
До конца XIX в атом считали неделимой частицей, но последовавшие позже открытия (радиоактивность, фотоэффект) поколебали это убеждение....
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы