§ 12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности icon

§ 12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности



Название§ 12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности
Дата конвертации14.09.2012
Размер44.38 Kb.
ТипДокументы

§ 12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности.

Пусть - гладкая поверхность.

Определение. Главные направления индикатрисы Дюпена в точке М называются главными направлениями поверхности в этой точке.

Для поверхности, содержащейся в плоскости, главные направления не определены, так как не определена индикатриса Дюпена. В неомбилической точке существует единственная пара главных направлений. В омбилической точке любое направление главное.

Пусть в точке векторы определяют главные направления. По определению главных направлений относительно линии второго порядка

  1. они ортогональны, то есть

  2. они сопряжены, то есть

Докажем, что 2) равносильно , где дифференциал единичного вектора нормали, соответствующего смещению в тоске М на поверхности .

Для этого докажем формулы: . Например, имеем . Дифференцируем это тождество , то есть . Остальные тождества доказываются аналогично.

Подставим коэффициенты в условие сопряженности:



Итак, определяют главные направления и .


Теорема (Родрига). Направление gif" name="object21" align=absmiddle width=21 height=19> в точке М главное тогда и только тогда, когда

. (*)

Здесь - дифференциал единичного вектора нормали соответствующий смещению в точке М, а - нормальная кривизна по направлению .

† Пусть определяет главное направление в точке М. Тогда и , где - другое главное направление. Так как и , то . Так как , и , то .

Докажем, что . Из равенства выразим : , умножим скалярно на . Тогда , то есть .

Обратно, пусть верно (*). Докажем, что вектор определяет главное направление. Возьмем в касательном пространстве вектор , то есть . Тогда задает главное направление. †

Формула (*) называется формулой Родрига.

Определение. Нормальные кривизны по главным направлениям в точке М называются главными кривизнами поверхности в этой точке.


Распишем подробнее формулу Родрига

. Умножим скалярно сначала на , затем на .

.

Исключив из системы , получим уравнение для нахождения главных направлений.

или в виде .

Определение. Линия на поверхности называется линией кривизны, если направление ее касательной в любой точке является главным направлением в этой точке.

Таким образом, если точка М неомбилическая, то через нее проходят две линии кривизны, направления которых в точке М ортогональны и сопряжены.


Пусть - линия кривизны на поверхности. Тогда и при смещении вдоль нее удовлетворяют уравнению (так как касательная вдоль нее должна быть направлена по главному направлению) . Раскрыв определитель получим

. Разделим на .

Исключим омбилические точки (где это уравнение является тождеством) и получим квадратное уравнение относительно . Так как индикатриса Дюпена всегда имеет два главных направления, это уравнение имеет два действительных корня (главные направления): и . Каждое из этих дифференциальных уравнений даст решение - линию кривизны. Итак, в каждой точке существует две линии кривизны.

В частности, если коэффициенты перед и равны нулю, то имеем
Первое решение:
линия; второе решение: линия .

Таким образом, в этом случае сеть линий кривизны является координатной сетью. Получаем в окрестности каждой точки специальную кординатную сеть, состоящую из линий кривизны.

Теорема (Монж). Координатная сеть является сетью линий кривизны тогда и только тогда, когда .

† 1) Пусть координатная сеть является сетью линий кривизны. Тогда (ортогональность) и (сопряженность).

2) Пусть . Тогда уравнение, задающее линии кривизны . Его решения, как мы видели суть координатные линии. †


Рассмотрим координатную сеть, состоящую из линий кривизны. Тогда (ортогональность) и (сопряженность). Имеем в этом случае . Посчитаем нормальную кривизну для линии

для линии .

Тогда (**)

Имеем . Так как - единичный и , вектор = . Сравнивая последние два равенства, получим , где и - главное направление. Выразим из последних равенств и подставим в (**): . Для краткости мы обозначили .

Итак, . Эта формула называется формулой Эйлера.

Замечание. Используя основное тригонометрическое тождество запишем формулу Эйлера в виде . Из такой формы записи сразу видно, что главные кривизны и - экстремальные значения нормальной кривизны.


Вернемся к рассмотрению системы

Она является однородной и имеет ненулевое решение (главные направления). Тогда

Раскрывая определитель, получим



Таким образом, главные кривизны являются корнями квадратного уравнения. Это уравнение используется для нахождения главных кривизн.

Определение. Полусумма главных кривизн называется средней кривизной поверхности в точке М. Произведение называется полной (гауссовой) кривизной поверхности.

По теореме Виета получаем формулы для их вычисления и . Так как (первая квадратичная форма положительно определена), то в эллиптической точке , в гиперболической - , в параболической . Мы выводили формулы для вычисления и в предположении, что хотя бы один из коэффициентов второй квадратичной формы отличен от нуля. Эти формулы можно распространить и на случай . Пусть - часть плоскости. Тогда постоянен . Такой же ответ получим и по формулам.


§ 13. Примеры поверхностей постоянной кривизны.

Разобрано в семинаре 8.




Похожие:

§ 12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности icon§8 Средняя и полная (гауссова) кривизны. Примеры поверхностей постоянной полной и средней кривизны
Определение. Поверхность называется поверхностью постоянной полной (соответственно, средней) кривизны, если во всех точках этой поверхности...
§ 12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности icon§ 15. Теорема Гаусса. Геодезическая кривизна линии на поверхности
...
§ 12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности iconРешение. 1 Вычислим первую квадратичную форму. Тогда
А]№1129. Дана поверхность. Найти нормальную кривизну линии в точке а с локальными координатами этой поверхности. Определить вид нормального...
§ 12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности iconЗадачи к зачету и проверочным работам (семинар 7). Найти главные направления и главные кривизны поверхностей
Найти нормальные кривизны в произвольной точке в направлении координатных линий прямого геликоида и тора
§ 12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности icon§11. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности
Рассмотрим гладкую кривую на поверхности. При перемещении точки м вдоль кривой ее касательный вектор раскладывается по базисным векторам...
§ 12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности iconОпределение. Асимптотическим направлением в данной точке поверхности называется направление, касательное к нормальному сечению с кривизной 0 ( направление, для которого нормальная кривизна равна 0). Определение
Определение. Асимптотическим направлением в данной точке поверхности называется направление, касательное к нормальному сечению с...
§ 12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности icon§16. Изометрические поверхности. Изгибание поверхности
Биекция переведет ее в линию на поверхности. Будем называть эту линию линией поверхности. Аналогично вводится понятие линии поверхности....
§ 12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности iconУста в муниципального бюджетного образовательного учреждения «Хорошовская средняя (полная) общеобразовательная школа»
«Хорошовская средняя (полная) общеобразовательная школа» (далее – Школа) постановлением Администрации муниципального образования...
§ 12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности iconТема: страна, в которой мы живем ход классного часа
Время героев, обычно ты кажешься прошлым: Главные битвы приходят из книг и кино, Главные даты отлиты в газетные строки, Главные судьбы...
§ 12. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна поверхности iconПредложение. Кривая геодезическая тогда и только тогда, когда в каждой ее точке соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль к поверхности. Пример
Пусть гладкая поверхность, кривая называется геодезической, если в каждой ее точке геодезическая кривизна
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов