§ Движения плоскости. Примеры. Параллельный перенос и поворот icon

§ Движения плоскости. Примеры. Параллельный перенос и поворот



Название§ Движения плоскости. Примеры. Параллельный перенос и поворот
Дата конвертации14.09.2012
Размер0.51 Mb.
ТипДокументы

Тема 3. Преобразования плоскости.

§ 1. Движения плоскости. Примеры. Параллельный перенос и поворот.

Формулы движения (*)

матрица - ортогональна.

названиеПараллельный перенос Поворот Осевая симметрия

Скользящая симметрия

Опреде-

лениеДан вектор



Даны точка , - ориентированный угол



1) ;

2)


Если , то называется центральной симметрией и обозначается .Дана прямая



1)

2) сер Даны прямая , вектор


По теореме Фалеса сер Обратные Род Инвариант-ные точкинетточка ОПрямая инвариантных точек нетИнвариант-ные прямыелюбая прямая, параллельная вектору 1) нет

2) любая прямая, проходящая через точку ОПрямая и любая прямая перпендикулярная .Прямая Определяю-

щие элементы , Как их найтиПодставить в (*) и найти .

1) О- инвариантная точка

2) , в формулах (*) - прямая инвариантных точек. Из (*) (подставить (0,0) в (*) и найти координаты )



(подставить координаты в (*) и найти координаты ).




Формулы











Задачи.

  1. Найти все инвариантные прямые параллельного переноса.

Ответ. Все прямые, параллельные вектору , определяющему параллельный перенос.

  1. На плоскости даны две параллельные прямые и прямая , пересекающая их. Найти образ произвольной точки М, прообраз произвольной точки , образ и прообраз данной прямой , образ и прообраз данной окружности при параллельном переносе, переводящем и оставляющем прямую инвариантной.

Идея решения. 1) Определим вектор параллельного переноса, используя первую часть задачи, то есть две параллельные прямые и прямую . Пусть . Тогда при данном параллельном переносе , то есть .
Вспомним о второй части задачи. Образ и прообраз точки легко построить, используя таблицу. Чтобы построить образ и прообраз прямой достаточно построить образы (прообразы) двух ее точек. Можно поступить по-другому: построить образ (прообраз) одной точки прямой и вспомнить, что при параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую.

Чтобы построить образ (прообраз) окружности, построим образ (прообраз) ее центра и проведем окружность того же радиуса, что и исходная, так как движение сохраняет расстояния. 

  1. Доказать, что на данных непараллельных прямых и существуют точки А и В соответственно, такие, что направленный отрезок эквиполентен данному направленному отрезку .

Идея решения. Проведем анализ задачи. Пусть направленный отрезок построен. Тогда и по условию . Приступим к построению. Построим образ прямой (см. предыдущую задачу). Тогда и, проведя прямую , получим . 

  1. Найти все инвариантные прямые поворота.

Ответ. При инвариантных прямых нет. При инвариантными являются все прямые, проходящие через центр поворота. 

  1. На плоскости даны два равных непараллельных отрезка. Построить образ и прообраз данной прямой при повороте, переводящем один данный отрезок в другой. Сколько решений имеет задача?

Идея решения. Пусть даны отрезки и . По определению поворота точки и равноудалены от центра поворота О. Аналогично, точки и равноудалены от центра поворота О. Следовательно, точка О принадлежит серединным перпендикулярам отрезков и , то есть является их пересечением. Угол поворота – это ориентированный угол между векторами и . Построим образ данной прямой . Опустим на прямую перпендикуляр из центра поворота О. Обозначим основание перпендикуляра . Построим образ точки при повороте и проведем прямую, перпендикулярную . Это будет образ прямой . Образно этот процесс можно представить себе следующим образом: соединяем прямую с центром поворота О "жесткой палочкой" и крутим всю эту конструкцию вокруг точки О на нужный угол. 

  1. На плоскости даны две прямые и точка О равноудаленная от них. Построить образ и прообраз произвольной окружности при повороте, для которого точка О инвариантна, прямая переходит в прямую .

Идея решения. Пусть . Тогда прямая получается из прямой поворотом вокруг точки О на угол , Пусть . Тогда опустим из тоски О перпендикуляры на прямые , получим точки и , соответственно. Угол поворота есть угол . Чтобы построить образ окружности при повороте, нужно построить образ ее центра и в построенной точке провести окружность такого же радиуса. 

  1. Даны две пересекающиеся прямые , и точка О, не лежащая на них. Построить отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной точке.

Идея решения. Проведем анализ задачи. Пусть искомый отрезок построен. Рассмотрим центральную симметрию с центром в точке О. Тогда и по условию . Следовательно, . Проведем построение. Во-первых, построим образ прямой . Для этого достаточно через образ какой-нибудь точки прямой провести прямую, параллельную . Получим . Строим точку и точку . 

  1. Доказать, что если одна прямая получена из другой поворотом на угол , то один из углов, образованных этими прямыми, будет равен . В частности, центрально-симметричные прямые параллельны или совпадают.

Идея решения. Пусть прямая получается из прямой поворотом на угол вокруг точки О, М – точка пересечения и .. Опустим перпендикуляры из точки О на прямые и . Обозначим основания перпендикуляров и соответственно. Тогда четырехугольник имеет два прямых угла - , и угол . Следовательно, четвертый его угол равен . Смежный ему угол будет равен . Это угол между прямыми и . 

^ Задачи к проверочной работе.

  1. Даны две пары параллельных прямых и . Построить образ и прообраз данной прямой при параллельном переносе, переводящем в , в .

  2. На плоскости дан квадрат . Построить образ и прообраз данной окружности при повороте, переводящем данный квадрат в себя. Сколько решений имеет задача?

  3. Два равнобедренных треугольника симметричны друг другу относительно некоторой прямой. Можно ли их отобразить друг на друга каким-либо еще движением?

  4. Даны два противоположно направленных луча. Построить образ и прообраз данной прямой при повороте, переводящем один луч в другой.

  5. Даны две равные окружности. Построить образ и прообраз данной точки при повороте на угол , переводящем одну окружность в другую.

  6. Даны две прямые, пересекающиеся под углом . Существует ли точка плоскости, при повороте вокруг которой на угол одна данная прямая перейдет в другую?

  7. Через данную точку А провести прямую так, чтобы ее отрезок с концами на данной прямой и окружности делился точкой пополам.

  8. Построить квадрат, если дан его центр и две точки, принадлежащие противоположным сторонам квадрата.

  9. Построить параллелограмм по двум заданным вершинам, если две другие вершины лежат на данной окружности.

10.*. Внутри угла с вершиной О дана точка М. Построить прямую ОМ, не используя точку О.

11*. На прямой даны три точки А, В, С, причем В расположена между А и С. На отрезках АВ и ВС по одну сторону от прямой построены правильные треугольники и . Точки М и - середины отрезков и соответственно. Доказать, что треугольник - правильный.


§ 2. Движения плоскости. Примеры. Осевая симметрия и скользящая симметрия.

Задачи.

  1. Найти все инвариантные прямые осевой симметрии.

Ответ. Ось симметрии и все прямые, перпендикулярные ей.

  1. На плоскости даны прямая и точка А, не лежащая на ней. Построить образ и прообраз окружности при осевой симметрии, для которой эти прямая и точка инвариантны.

Идея решения. У осевой симметрии все инвариантные точки лежат на оси, следовательно, ось данной осевой симметрии проходит через точку А. Все инвариантные прямые осевой симметрии перпендикулярны ее оси, следовательно, . Рисуем ось . Этим осевая симметрия полностью определена, и мы можем забыть про первую часть задачи. Теперь точки А и прямой для нас не существуют. Строим образ окружности, видя перед собой только ось . Для этого достаточно построить образ ее центра и провести окружность того же радиуса в построенной точке. 

  1. На плоскости даны два равных непараллельных отрезка. Построить образ и прообраз данной прямой при скользящей симметрии, переводящей один отрезок во второй.

Идея решения. Пусть даны два отрезка и . Вспомним очень хорошее свойство скользящей симметрии, которым нас обеспечила теорема Фалеса: середина отрезка, соединяющего соответствующие точки скользящей симметрии, лежит на ее оси. Тогда ось скользящей симметрии , где - середина отрезка , - середина отрезка . Обозначим ее . Построим образ отрезка при осевой симметрии . Получим отрезок . Тогда для параллельного переноса остается перевести отрезок в отрезок , то есть . Мы полностью задали скользящую симметрию. Теперь вспомним о второй части задачи. Построим образы двух точек данной прямой и через эти образы проведем прямую. Это и будет образ данной прямой. 

  1. На плоскости даны две пересекающиеся прямые и точка А. При каких условиях существует скользящая симметрия, переводящая в , для которой точка А лежит на инвариантной прямой? Построить образ и прообраз данной точки при этой скользящей симметрии.

Идея решения. Скользящая симметрия имеет единственную инвариантную прямую – ось . Значит, . Угол между прямыми и равен углу между прямыми и (рисуем как прямая превращается в : сначала она отразится от прямой и превратится в прямую . Мы видим, что . Дальше прямая параллельный перенос "сдвинет" и превратит в . Угол между прямыми при этом сохранится). Следовательно, ось должна быть параллельна биссектрисе угла, образованного прямыми и . Вектор параллельного переноса – это вектор, параллельный прямой и переводящий в . Далее смотрим в таблицу § 1 и строим образ и прообраз данной точки. 

  1. Даны прямая и точки А, В, лежащие по одну сторону от прямой . На прямой найти точку М, такую, что была бы наименьшей.

Идея решения. Анализ задачи. Отразим точку В от прямой : . Тогда . Рассмотрим все ломаные , . Наименьшую длину из них имеет отрезок прямой, содержащий точки . Построение. Построим образ точки В при осевой симметрии . Соединим точки и . В пересечении с прямой получим искомую точку М. 

  1. Построить квадрат , если его диагональ лежит на данной прямой , а вершины и лежат соответственно на данных окружностях и .

Идея решения. Анализ задачи. Пусть искомый квадрат построен. Рассмотрим осевую симметрию с осью . Тогда . Кроме того по условию . Значит, , Проведем прямую . Тогда . Две вершины квадрата готовы! Построим еще две вершины квадрата. Пусть - точка пересечения диагоналей квадрата. Так как диагонали квадрата равны, . На прямой строим точки и . 

^ Задачи к проверочной работе.

  1. Построить образ и прообраз данного угла при осевой симметрии, если известно, что данные прямая и окружность инвариантны.

  2. На плоскости даны две прямые и точка А. Построить образ и прообраз точки А при осевой симметрии, переводящей в .

  3. Построить образ и прообраз данного треугольника при скользящей симметрии, заданной инвариантной прямой и парой соответствующих точек .

  4. Построить образ и прообраз данной прямой при осевой симметрии, заданной инвариантной прямой и инвариантной точкой.

  5. Даны две равные окружности и . Существует ли скользящая симметрия, отображающая одну из этих окружностей на другую? Отметьте на окружностях соответственно по точке А и В. Укажите скользящую симметрию, отображающую окружность на окружность , при которой точка А отобразится в точку В.

  6. Построить образ и прообраз данной окружности при осевой симметрии, переводящей данный квадрат в себя. Сколько решений имеет задача?

  7. Дан острый угол и точка М внутри этого угла. Построить треугольник наименьшего периметра, у которого вершины А и В лежат соответственно на сторонах данного угла.

  8. Построить квадрат , если его диагональ лежит на данной прямой , а вершины и лежат соответственно на данных прямых и .

  9. Построить квадрат , если его диагональ лежит на данной прямой , а вершины и лежат соответственно на данной окружности и данной прямой .

10*. С помощью построений определить расстояние от данной точки на стороне угла до его вершины, если эта вершина недоступна.

11*. Точка А расположена на расстоянии 50 от центра круга радиуса . Разрешается отразить точку симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг. Доказать, что а) за 25 отражений точку А можно "загнать" внутрь данного круга, б) за 24 отражения этого сделать нельзя.

12*. Дан треугольник АВС. Точки - основания его высот. Доказать, что прямая является осью скользящей симметрии .


§ 3. Аналитическое задание движения.

Задачи.

  1. Записать формулы движения, имеющего единственную инвариантную точку и переводящего , а окружность в окружность .

Решение. Во-первых, определим вид движения. Смотрим в таблицу §1 и видим, что единственную инвариантную точку имеет поворот. Во-вторых, нарисуем картинку и решим задачу "на картинке", как мы делали это в §1, 2. Мы знаем, что при движении центр окружности переходит в центр ее образа, то есть при этом повороте перейдет в точку . Итак, поворот задан двумя парами соответствующих точек: и . Такую задачу мы уже решали в §1. Центр поворота О есть пересечение серединных перпендикуляров к отрезкам и . Напишем уравнения этих прямых. Пусть - середина отрезка . Тогда . Серединный перпендикуляр задается точкой и перпендикулярным вектором . Тогда . Аналогично найдем второй серединный перпендикуляр . Имеем - середина отрезка и . Тогда серединный перпендикуляр задается точкой и перпендикулярным вектором . Тогда . Найдем координаты точки : , то есть . Найдем угол поворота . Используем формулы для нахождения синуса и косинуса ориентированного угла. Тогда . Нам достаточно данных, чтобы составить формулы поворота. Посмотрим в таблицу §1 и подставим в общие формулы поворота наши данные: . 

  1. Найти уравнение образа прямой при движении, не имеющем инвариантных точек, при котором прямая и .

Решение. Разделим задачу на три части: во-первых, определим вид движения, во-вторых, запишем его формулы, в-третьих, по формулам найдем образ заданной прямой.

Для определения вида движения берем только вторую часть задачи (временно забудем про первую прямую). Нарисуем картинку. Мы видим, что , и . Движениями, не имеющими инвариантных точек, являются параллельный перенос и скользящая симметрия. Скользящая симметрия переводит прямую в параллельную ей прямую только когда прямая параллельна оси или перпендикулярна ей. Если бы скользящая симметрия переводила , то . Что противоречит условию задачи. Следовательно, это параллельный перенос. Найдем координаты вектора этого параллельного переноса.

Рассмотрим точку и найдем образ этой точки при параллельном переносе. Удобно записывать следующим образом: , то есть . Ищем координаты точек и , затем вектора .

; . Тогда .

Запишем уравнения параллельного переноса: .

Приступим к третьей части задачи. Чтобы найти образ прямой , выразим из формул параллельного переноса и и подставим в уравнение прямой . Удобная запись: . Итак, . 

  1. Найти прообраз прямой при движении, имеющем инвариантную прямую и инвариантную точку .

Решение. Во-первых, определим вид движения. Нарисуем картинку. Мы видим, что точка не принадлежит данной прямой. Инвариантные точки имеют поворот (центральная симметрия) и осевая симметрия. Инвариантные прямые имеют центральная симметрия и осевая симметрия. Но у центральной симметрии все инвариантные прямые проходят через инвариантную точку. Следовательно, это – осевая симметрия . Найдем уравнение оси . Все инвариантные точки лежат на оси , следовательно, . Инвариантные прямые осевой симметрии, отличные от ее оси, перпендикулярны ей, то есть . Пишем уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой. Тогда . Смотрим в таблицу §1 и записываем формулы осевой симметрии с осью .

.

Найдем прообраз прямой при этой осевой симметрии. Данная прямая является образом для своего прообраза, значит, ее переменные должны быть обозначены буквами со штрихами: . Чтобы найти ее прообраз, нужно подставить и из формул осевой симметрии в уравнение прямой . Получим уравнение прямой - прообраза прямой .

  1. Написать формулы движения, имеющего единственную инвариантную прямую , при котором .

Решение. Единственную инвариантную прямую имеет только скользящая симметрия. Эта прямая является ее осью, то есть ось скользящей симметрии . Нам осталось найти только вектор параллельного переноса. Нарисуем картинку. Пусть . Тогда искомый вектор . Определив координаты точки , мы найдем координаты вектора . Рассмотрим одно из возможных решений этой вспомогательной задачи. Оно не самое короткое, но самое универсальное. Идея этого решения у нас уже записана: ! Здесь написано, что мы должны сначала записать формулы осевой симметрии, а затем найти образ точки , пользуясь этими формулами. Реализуем эту идею. Подставим в общие формулы осевой симметрии наши данные. . Чтобы найти координаты образа точки , нужно подставить ее координаты в формулы вместо и . Получим . Тогда . У нас достаточно данных, чтобы записать ответ задачи. Смотрим в таблицу и записываем формулы скользящей симметрии:

. 

  1. На прямых и найти точки, которые являются соседними вершинами квадрата с центром в точке О(0,1).

Идея решение. Забудем сначала про уравнения и решим задачу "в картинках" как мы делали это в §1,2. Нам даны две не параллельные прямые и точка, не принадлежащая этим прямым. Пусть задача решена и построен квадрат , где и - центр квадрата. Рассмотрим поворот вокруг точки О на угол . Тогда и по условию , следовательно, . Из этой записи мы видим, как построить вершину квадрата: надо построить образ прямой при повороте вокруг точки на угол и пересечь его с прямой . Тогда вершину легко найти как прообраз точки при рассматриваемом повороте. Точки найдем, зная, что - середина отрезков и . Осталось только провести занудные вычисления. Проведите их самостоятельно! 

^ Задачи к проверочной работе.

  1. Найти уравнение образа прямой при движении с единственной инвариантной точкой, при котором точки , а .

  2. На плоскости дан квадрат . Составить формулы движений 1 рода, не имеющих инвариантных прямых, при которых квадрат переходит в себя, если , .

  3. Записать уравнения скользящей симметрии, при которой синусоида инвариантна.

  4. Написать формулы движения, имеющего одну единственную инвариантную точку, инвариантные прямые, и переводящего окружность в окружность .

  5. Написать формулы движения, имеющего инвариантную прямую и инвариантную окружность, заданные уравнениями и , соответственно. Найти уравнение прообраза прямой при этом движении.

  6. Написать формулы движения, единственная инвариантная прямая которого параллельна прямой и .

  7. Найти уравнение прообраза прямой при движении 1 рода, при котором прямая инвариантна, а прямая переходит в прямую .

  8. Найти образ точки при движении, не имеющем инвариантных точек и переводящем , а .

  9. Найти координаты прообраза точки при движении первого рода, для которого точка инвариантна, прямая переходит в прямую .

  10. Написать формулы движения 1 рода, при котором прямая , и точка инвариантна.

  11. Найти координаты вершин А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С, если С(1,0), точка А лежит на прямой , а точка В принадлежит окружности .

  12. Найти координаты вершин квадрата , если уравнение прямой, содержащей его диагональ АС , а вершины В и принадлежат соответственно оси ординат и окружности .

13*. Составить формулы движений второго рода, если известно, что образы точек А(0,1), В(1,0), С(1,1) принадлежат соответственно прямым .

14*. Дан треугольник АВС. Определить вид движения и элементы его задающие.

15*. Дан треугольник АВС. Во внешнюю сторону построены правильные треугольники. Доказать, что их центры образуют правильный треугольник.

§4. Определение вида движения.

Рассмотрим три типа задач на определение вида движения:

1. Движение задано парой ортонормированных реперов.
Пусть даны два ортонормированных репера и (проще говоря, нарисованы два прямоугольных равнобедренных треугольника и , у которых углы - прямые). Чтобы определить вид движения нужно:
1) Определим, сохраняет или меняет движение ориентацию плоскости. Для этого нарисуем стрелки от вектора к вектору и от вектора к вектору . Если стрелки обе направлены по часовой стрелке (или обе – против часовой стрелки), то движение не меняет ориентации плоскости, то есть является движением первого рода. Если одна стрелка направлена по часовой, а другая – против часовой стрелки, то движение меняет ориентацию плоскости, то есть является движением второго рода.
2) Если движение первого рода, то это либо параллельный перенос, либо поворот. Параллельный перенос характеризуется тем, что векторы равны между собой – это вектор параллельного переноса. Поворот характеризуется тем, что серединные перпендикуляры к отрезкам, соединяющим соответствующие точки движения, пересекаются в одной точке, то есть если провести через середины отрезков перпендикуляры, то они пересекутся в одной точке – центре поворота. Рисуем картинку и смотрим, что получается. Найдите на картинке угол поворота.
3) Если движение второго рода, то это либо осевая симметрия, либо скользящая симметрия. Рассмотрим середины отрезков . В обоих случаях они будут лежать на одной прямой . Если прямая перпендикулярна отрезкам , то это осевая симметрия, а если – нет, то скользящая симметрия. Сообразите, как найти вектор переноса для этой скользящей симметрии.


2. Движение задано формулами. Напомним, что

формулы , где матрица - ортогональна, задают движение.


Напомним, что матрица С называется ортогональной, если

1) ; 2) ; 3) .

Чтобы определить вид движения, нужно

  1. Определить род движения (вычислить определитель ).

  2. Найти количество инвариантных точек (в формулы движения подставить и решить систему уравнений . Количество ее решений равно количеству инвариантных точек движения).

  3. Посмотреть в таблицу §1.


3. Определение вида движения с помощью разложения в композицию осевых симметрий.

Напомним, что

, где ,

, где ,


Например, надо определить вид движения (рисуем картинку). Постараемся разложим каждое из этих движений в композицию двух осевых симметрий так, чтобы первая осевая симметрия от поворота была такая же, как вторая осевая симметрия от параллельного переноса, то есть

. Тогда эти прямые должны удовлетворять требованиям , , , . Из этих требований видим, что прямая должна проходить через точку О перпендикулярно вектору . Две остальные прямые достраиваются по прямой однозначно (рисуем их на картинке). Итак, , где , (так как ), то есть = является поворотом вокруг точки на угол (нарисуйте картинку).

Задачи.

  1. Выяснить, определяют ли формулы , записанные в ПДСК, движение? Найти образ и прообраз точки при этом движении; образ и прообраз прямой при этом же движении.

Решение. Проверим, является ли матрица ортогональной. Действительно, , , . Матрица ортогональна, следовательно, формулы задают движение. Найдем образ точки . Запишем . Из этой записи хорошо видно, что координаты точки нужно подставить вместо и в формулы движения. Тогда вычислив значения , получим координаты точки . Считаем , .

Найдем прообраз точки . Запишем , где точка - прообраз точки . Теперь точка М сама является образом и ее координаты нужно подставлять в формулы движения вместо . Получим систему, решив которую найдем координаты точки .

.

Найдем образ прямой . Первый способ. Взять две точки на прямой , найти их образы и через них провести прямую. Это будет .

Второй способ. Запишем . Нужно из формул движения выразить и подставить в уравнение прямой . Получим уравнение с переменными . Это и будет уравнение прямой . Запишем его на место, которое мы оставили. Проведите вычисление тем способом, который вам понравился больше.

Найдем прообраз прямой . Первый способ решения такой же как для нахождения образа. Второй способ. Запишем . Теперь прямая сама является образом, следовательно, ее переменные надо обозначать . Переобозначим . Теперь видно, чтобы найти ее прообраз, нужно подставить выражения для из формул в уравнение прямой . Ответ запишем на свободное место. . Раскрывая скобки и приводя подобные, получим уравнение прообраза прямой . 

  1. Определить вид движения и элементы его определяющие
    а) ; б) ;
    в) ; г) ; д) ;
    е) ; ж) . Записать уравнения инвариантных прямых.

Решение. а) Определим род движения 1 род

Найдем инвариантные точки. Точка является инвариантной тогда и только тогда, когда , то есть . Подставим в формулы движения: . Движение 1 рода и имеет одну инвариантную точку – это поворот вокруг точки на угол такой, что . Инвариантных прямых нет.

б) Определим род движения II род

Найдем инвариантные точки. Точка является инвариантной тогда и только тогда, когда , то есть . Подставим в формулы движения: . Система противоречива, следовательно, инвариантных точек нет. Это скользящая симметрия. Найдем элементы ее определяющие (см. таблицу). Рассмотрим точку . Найдем ее образ по формулам . Найдем координаты середины отрезка : . Эта точка принадлежит оси скользящей симметрии, также как и точка (мы подставили координаты точки в формулы движения). Вектор параллельного переноса, входящего в скользящую симметрию, есть вектор . Ось скользящей симметрии: . Единственная инвариантная прямая – ось скользящей симметрии .

в) Определим род движения II род

Найдем инвариантные точки. Точка является инвариантной тогда и только тогда, когда , то есть . Подставим в формулы движения: . Система имеет бесконечно много решений, то есть движение имеет прямую инвариантных точек. Это осевая симметрия с осью . Инвариантными прямыми являются ось осевой симметрии и все прямые перпендикулярные оси: , С – произвольная константа.

г) Определим род движения: род. Найдем инвариантные точки: . Система противоречива, следовательно, инвариантных точек нет. Это параллельный перенос на вектор (свободные члены в формулах движения). Инвариантные прямые: все прямые, параллельные вектору . Их уравнения: , где С – произвольная константа.

д) Определим род движения: род. Найдем инвариантные точки: . Система противоречива, следовательно, инвариантных точек нет. Это скользящая симметрия. Найдем ее определяющие элементы. Рассмотрим точку . Найдем ее образ по формулам . Найдем координаты середины отрезка : . Эта точка принадлежит оси скользящей симметрии, также как и точка (мы подставили координаты точки в формулы движения). Вектор параллельного переноса, входящего в скользящую симметрию, есть вектор . Ось скользящей симметрии: . Единственная инвариантная прямая – ось скользящей симметрии .

е) Определим род движения: род. Найдем инвариантные точки: . Система имеет бесконечно много решений, то есть движение имеет бесконечно много инвариантных точек, лежащих на прямой . Это осевая симметрия с осью . Инвариантными прямыми являются ось осевой симметрии и все прямые перпендикулярные оси: , С – произвольная константа.

ж) Определим род движения: род. Найдем инвариантные точки: . Движение имеет единственную инвариантную точку, следовательно, это поворот вокруг этой точки на угол , для которого , то есть . Это центральная симметрия. Инвариантными прямыми являются все прямые, проходящие через точку , то есть прямые для любых . 

^ Задачи к проверочной работе.

1. Доказать, что формулы, записанные в ПДСК, задают движение, определить его вид и задающие элементы, записать уравнения инвариантных прямых, найти образ и прообраз прямой при этом движении, образ и прообраз окружности .
1) ; 2) ;
3) ; 4) ; 5) ;

6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) .

2. Нарисована пара ортонормированных реперов. Определить вид движения и элементы, его задающие.

3. Определить вид движения ; ; ; ; ; .


§ 5. Преобразование подобия. Гомотетия.

Определение. Пусть на плоскости фиксирована точка и дано число . Гомотетией называется такое преобразование плоскости , что . Точка называется центром гомотетии, а число называется коэффициентом гомотетии.

Свойства гомотетии.

1. - единственная инвариантная точка гомотетии.

2. Гомотетия является подобием первого рода с коэффициентом .

3. ; .

Формулы гомотетии:

Задачи.

  1. Построить образ и прообраз точки, прямой, окружности при гомотетии, заданной центром и парой соответствующих точек .

Решение. Изобразим на картинке точку и пару соответствующих точек . Посмотрим на определение гомотетии и убедимся, что все три точки лежат на одной прямой.

Возьмем точку В на плоскости и построим ее образ. Во-первых, точка должна лежать на одной прямой с точками и В. Проводим прямую . Во-вторых, прямые и должны быть параллельны по свойству гомотетии, следовательно, принадлежит прямой, проходящей через точку параллельно прямой . Обозначим эту прямую . Тогда .

Возьмем точку на плоскости и построим ее прообраз. Рассуждения полностью аналогичны проведенным выше. Во-первых, точка (прообраз точки ) лежит на одной прямой с точками и . Во-вторых, прямые и должны быть параллельны по свойству гомотетии, следовательно, принадлежит прямой, проходящей через точку параллельно прямой . Обозначим эту прямую . Тогда .

Чтобы построить образ (прообраз) данной прямой при гомотетии, достаточно построить образ (прообраз) одной ее точки и через эту точку провести прямую параллельную денной. Подумайте, почему это так?

Чтобы построить образ (прообраз) данной окружности, достаточно построить образ (прообраз) ее центра и какой-нибудь точки этой окружности. Получим точку . Проведем окружность с центром в точке радиуса . Это будет образ данной окружности. 

  1. На плоскости даны две прямые и точка О, им не принадлежащая. Построить образ и прообраз произвольной прямой при гомотетии с центром в точке О и переводящей .

Решение. Проведем через точку О какую-нибудь прямую . Обозначим и . Убедимся, что такое обозначение не случайно и точка действительно является образом точки . Как обычно запишем (действительно, прямая инвариантна, так как проходит через центр гомотетии). Теперь гомотетия у нас задана центром и парой соответствующих точек. Такие задачи мы уже умеем решать (см. задачу 1). 

  1. Составить формулы гомотетии, зная две инвариантные прямые и и коэффициент гомотетии . Найти образ окружности при этой гомотетии.

Решение. Общие формулы для гомотетии у нас есть. Если мы подставим в них координаты центра и коэффициент гомотетии, то получим ответ. Коэффициент у нас дан: . Ищем координаты центра гомотетии. По свойству гомотетии все ее инвариантные прямые пересекаются в ее центре, следовательно, определив координаты точки пересечения прямых и мы найдем координаты центра гомотетии.

.

Получаем .

Найдем теперь образ окружности . Вычислим координаты образа точки - центра окружности - при данной гомотетии (подставим координаты точки в формулы гомотетии). Получим . Так как гомотетия является подобием с коэффициентом , то окружность будет иметь радиус в 2 раза больше, чем исходная окружность. Итак, окружность имеет центр в точке и радиус 4. Запишем ее уравнение: . 

  1. Подобие задано парой реперов. Представить его в виде композиции гомотетии с тем же коэффициентом и любым центром и движения. Определить вид движения.

Решение. Пусть даны ортонормированный репер и репер . Так как они задают подобие, должны выполняться условия: и (почему?) Определим коэффициент подобия. Он равен . Возьмем произвольную точку плоскости - это будет центр гомотетии. Построим образ репера при гомотетии с центром и коэффициентом (для построения воспользуемся теоремой Фалеса). В результате получим репер . Тогда пара реперов и задаст движение. Нам нужно определить вид этого движения. Во-первых, определим род движения по ориентации реперов (одинаковая ориентация – первый род, противоположная – второй род).

Движение 1 рода:

а) параллельный перенос на вектор ;

б) иначе, поворот. Определим центр и угол поворота. Пусть прямая - серединный перпендикуляр к отрезку , прямая - серединный перпендикуляр к отрезку . Тогда точка - центр поворота. Угол поворота .

Движение 2 рода:

а) если прямая , проходящая через середины отрезков перпендикулярна им, то данное движение – осевая симметрия с осью .

б) иначе это скользящая симметрия с осью , проходящей через середины отрезков . Чтобы найти вектор параллельного переноса этой скользящей симметрии, отразим точку от оси . Получим точку . Тогда вектор будет искомым вектором. 

  1. Представить преобразование подобия в виде композиции гомотетии с отрицательным коэффициентом и движения. Определить вид движения.

Решение. Вспомним общий вид формул подобия:

, где . Тогда - коэффициент подобия.

Мы видим, что формулы из задачи удовлетворяют этим условиям, следовательно, задают подобие с коэффициентом . Пусть данное подобие представлено в виде , где - гомотетия, - движение. Запишем их формулы. Начнем с гомотетии, общие формулы которой у нас есть.

. Теперь найдем формулы движения . Для этого умножим обе части равенства справа на . Получим . Из этой записи мы видим, чтобы найти формулы движения , нужно записать формулы гомотетии , затем найти композицию и .

. Чтобы найти композицию гомотетии и подобия, введем другие обозначения для переменных. Заметим, что гомотетия и подобие действуют на точку в следующей последовательности: . Точка является образом для точки при гомотетии и исходной точкой для подобия . Тогда

и .

Движение , следовательно, в формулах нам надо "избавиться" от переменных . Подставим их из уравнений гомотетии в уравнения подобия:

. Нам осталось только определить вид движения по его формулам (см. §3). Это движение 1 рода, имеющее единственную инвариантную точку . Это поворот вокруг точки на угол такой, что . 

^ Задачи к проверочной работе.

  1. Построить образ и прообраз точки, прямой, окружности при гомотетии, заданной центром и коэффициентом ( ).

  2. Составить формулы гомотетии, заданной двумя парами соответствующих точек .

  3. Построить образ данной прямой при гомотетии, заданной двумя парами прямых ( ) и коэффициентом .

  4. Построить образ данной прямой при гомотетии, заданной двумя парами прямых ( ) и коэффициентом .

  5. Составить формулы гомотетии с коэффициентом , при которой прямая переходит в прямую , а прямая - в прямую .

  6. Найти образ окружности при гомотетии с центром в точке и переводящей прямую в прямую .

  7. Написать формулы гомотетии, при которой прямые и инвариантны, а образом прямой является прямая .

  8. Написать формулы гомотетии с положительным коэффициентом, при которой окружность переходит в окружность .

  9. Построить образ и прообраз данной прямой при гомотетии, переводящей данные прямые и данные точки .

  10. Построить прообраз данной окружности при гомотетии, переводящей данные точки .

  11. Найти уравнение прообраза прямой при гомотетии с центром в точке , которая переводит прямую в прямую .

  12. Построить прообраз данной прямой при гомотетии, заданной парой соответствующих точек и инвариантной прямой .

  13. Даны два параллельных отрезка . Построить образ данной окружности при гомотетии, переводящей один из данных отрезков в другой. Сколько решений имеет задача?

  14. Представить подобие в виде композиции гомотетии с тем же коэффициентом и движения. Определить вид движения, если
    1) ; 2) ; 3) .

  15. Представить подобия предыдущей задачи в виде композиции движения и гомотетии с отрицательным коэффициентом и произвольным центром.

  16. Представить подобие в виде композиции гомотетии с центром в точке и отрицательным коэффициентом и движения. Определить вид движения.

  17. Подобие задано парой реперов (нарисуйте картинку!). Разложить его в композицию гомотетии с положительным (отрицательным) коэффициентом и движения. Определить вид движения.

18*. Составить формулы подобия первого рода, переводящего отрезок с концами в точках в отрезок с концами . Сколько решений имеет задача?

19*. Доказать, что квадрат подобия второго рода есть гомотетия.

20*. Доказать, что любые две равносторонние гиперболы подобны.

21*. Доказать, что две любые параболы подобны. Чему равен коэффициент подобия?

22*. Подобие задано парой реперов (нарисуйте картинку!). Разложить его в композицию гомотетии с положительным (отрицательным) коэффициентом и движения с общей инвариантной точкой. Определить вид движения.


§ 6. Аффинные преобразования.

Определение. Преобразование плоскости называется аффинным, если оно любые три точки, лежащие на одной прямой переводит в три точки также лежащие на одной прямой и при этом сохраняет простое отношение трех точек.

Определение. Нетождественное аффинное преобразование называется перспективно-аффинным (или родством), если оно имеет по крайней мере две инвариантные точки А и В.

При этом вся прямая (АВ) состоит из инвариантных точек. Она называется осью родства.

Свойства родства.

  1. Прямые, соединяющие соответствующие точки родства параллельны или совпадают.

  2. Если прямая пересекает ось родства в некоторой точке, то ее образ также пересекает ось родства в этой же точке. Если прямая не пересекает ось родства, то ее образ также не пересекает ось родства.

Примеры перспективно-аффинных преобразований.

Сдвиг


Косое сжатие


Косое сжатие называется сжатием, если .

Задачи.

  1. Сдвиг (косое сжатие) задано осью и парой соответствующих точек. Построить образ и прообраз данной точки при этом преобразовании.

Решение. Рисуем картинку для сдвига. Нам даны ось и пара соответствующих точек . Так как мы рассматриваем сдвиг, . Возьмем произвольную точку В плоскости и построим ее образ . Воспользуемся свойствами родства. Во-первых, по 1 свойству, то есть принадлежит прямой , проходящей через точку В параллельно прямой . Во-вторых, если , то по 2 свойству, то есть . Тогда .

Прообраз произвольной точки плоскости строится аналогично. Возьмем произвольную точку плоскости и построим ее прообраз . Воспользуемся свойствами родства. Во-первых, по 1 свойству, то есть принадлежит прямой , проходящей через точку параллельно прямой . Во-вторых, если , то по 2 свойству, то есть . Тогда .

В случае косого сжатия рассуждения точно такие же. 

  1. Сдвиг (косое сжатие) задано осью и парой соответствующих точек. Построить образ и прообраз данного квадрата при этом преобразовании. Рассмотреть различное расположение квадрата относительно оси родства.

Решение. Достаточно построить образы вершин квадрата и соединить их отрезками (в результате этих действий мы получим параллелограмм). Подумайте, как построить образ квадрата проще. 

  1. Построить образ точки при косом сжатии, заданном инвариантной точкой С , парой соответствующих параллельных (пересекающихся) прямых и направлением сжатия – прямой .

Решение. Рисуем картинку. Мы знаем, что все инвариантные точки лежат на оси родства , то есть . Непараллельные соответствующие прямые пересекаются на оси родства, то есть . У нас появилась ось родства . Нам осталось получить две соответствующие точки , которые лежат на прямых и соответственно. Мы знаем, что все прямые, соединяющие соответствующие точки родства параллельны между собой. Это и есть направление сжатия. Оно задается прямой , то есть . Кроме того, . Следовательно, . Теперь косое сжатие задано осью и парой соответствующих точек. Дальше решение такое же как в задаче 1. 

  1. Родство задано двумя парами пересекающихся соответствующих прямых и . Построить образ (прообраз) данной точки при данном родстве.

Решение. Если мы построим ось родства и пару соответствующих точек, то сможем решить задачу по аналогии с задачей 1. Мы знаем, что соответствующие прямые пересекаются на оси родства, следовательно, ось родства . Найдем образ точки . Тогда родство задано осью и парой соответствующих точек . 

Задачи к проверочной работе.

  1. Построить образ (прообраз) данной трапеции при косом сжатии, заданном осью и парой соответствующих точек.

  2. Построить образ данной прямой при сдвиге, заданном осью и парой пересекающихся соответствующих прямых.

  3. Сдвиг задан парой соответствующих прямых и инвариантной прямой . Построить образ данного треугольника (квадрата, параллелограмма) при данном сдвиге. Сколько решений имеет задача?

  4. Построить образ (прообраз) данной трапеции при сдвиге, заданном парой соответствующих точек и инвариантной точкой В.

5. Доказать, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции родства и подобия.

6*. Показать, что перспективно-аффинное преобразование, вообще говоря, не сохраняет величину угла. Но при этом верно следующее утверждение: при всяком перспективно-аффинном преобразовании через каждую точку плоскости проходят две взаимно перпендикулярные прямые, образы которых при этом преобразовании также взаимно перпендикулярны.

7*. Доказать, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции двух сжатий к взаимно перпендикулярным прямым и движения.






Похожие:

§ Движения плоскости. Примеры. Параллельный перенос и поворот icon§ Движения плоскости. Примеры. Параллельный перенос и поворот
На плоскости даны две параллельные прямые и прямая, пересекающая их. Найти образ произвольной точки М, прообраз произвольной точки,...
§ Движения плоскости. Примеры. Параллельный перенос и поворот iconЗадания для подготовки к самостоятельной работе по теме «Параллельный перенос графика функции (вверх, вниз), (вправо, влево)»

§ Движения плоскости. Примеры. Параллельный перенос и поворот iconПоворот вокруг точки о на
Поворот вокруг точки о на ()­ это такое изменение плоскости в себе при котором точка о остаётся не подвижной, любой точке ставится...
§ Движения плоскости. Примеры. Параллельный перенос и поворот iconТематическое планирование по геометрии в 11 классе
Центральная симметрия. Зеркальная симметрия. Осевая симметрия. Параллельный перенос
§ Движения плоскости. Примеры. Параллельный перенос и поворот iconГалилео Галилей (1564 1642)
Галилей ввёл понятие инерции, установил относительность движения, исследовал законы падения тел и движения тел по наклонной плоскости,...
§ Движения плоскости. Примеры. Параллельный перенос и поворот iconОпределение. Аффинной системой координат (коротко,аск) на плоскости называется четверка, где о – произвольная точка плоскости, базис векторного подпространства векторов, параллельных плоскости. Определение
Аффинная и декартова системы координат на плоскости. Деление отрезка в данном отношении. Уравнение окружности
§ Движения плоскости. Примеры. Параллельный перенос и поворот iconТема: «Отражение, поворот, растяжение и наклон фрагмента»
Образовательная: помочь учащимся усвоить дополнительные операции над рисунком, такие как: изменение масштаба, искривление рисунка,...
§ Движения плоскости. Примеры. Параллельный перенос и поворот iconРешение: Из уравнения исходной плоскости найдём координаты её нормального вектора: Найдём теперь координаты вектора
...
§ Движения плоскости. Примеры. Параллельный перенос и поворот iconДоказательства методом достроения
Ер делит шестиугольник aedfpb на два равновеликих четырехугольника, прямая см делит шестиугольник acbnmq на два равновеликих четырехугольника;...
§ Движения плоскости. Примеры. Параллельный перенос и поворот iconОтметьте примеры вращательного движения
...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов