Общее уравнение прямой. Заметим, что если дано общее уравнение прямой, то ее направляющий вектор имеет координаты. 2 это каноническое уравнение прямой icon

Общее уравнение прямой. Заметим, что если дано общее уравнение прямой, то ее направляющий вектор имеет координаты. 2 это каноническое уравнение прямой



НазваниеОбщее уравнение прямой. Заметим, что если дано общее уравнение прямой, то ее направляющий вектор имеет координаты. 2 это каноническое уравнение прямой
Дата конвертации14.09.2012
Размер226.41 Kb.
ТипДокументы

Тема 3. Прямая на плоскости. Прямые и плоскости в пространстве.

§11. Уравнения прямой.

Сведения по теории.

1. Пусть в аффинной системе координат прямая задана точкой и направляющим вектором . Пусть М – произвольная точка прямой . координаты векторов и пропорциональны. Это условие можно записать тремя разными способами:

1) . Раскрывая определитель, получим . Обозначим . Получим - общее уравнение прямой. Заметим, что если дано общее уравнение прямой , то ее направляющий вектор имеет координаты .

2) - это каноническое уравнение прямой.

3) или , . Это параметрические уравнения прямой. называется параметром и принимает все возможные вещественные значения. Подставляя конкретные значения параметра в эти уравнения, переменные и выдают нам координаты точек этой прямой.
2. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат прямая задана точкой и вектором . Пусть М – произвольная точка прямой . . Раскрыв скобки, получим общее уравнение прямой, заданной точкой и перпендикулярным вектором.

Задачи.

  1. Даны точки А(2,3) и В(-1,7). Написать общее, каноническое и параметрические уравнения прямой АВ (АСК).

Указания. Прямая АВ задается точкой А и направляющим вектором . Пусть М – произвольная точка прямой АВ. их координаты пропорциональны. Запишем это условие разными способами:

1) . Это общее уравнение прямой.

2) . Это каноническое уравнение прямой.

3) , . Это параметрические уравнения прямой. 

  1. Написать уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой (АСК).

Указания. Направляющий вектор прямой имеет координаты . Запишем уравнения прямой, проходящей через точку параллельно .

Общее: .

Каноническое: . Параметрические: . 

  1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой (ПДСК).

Указания. Направляющий вектор прямой имеет координаты . Пусть М – произвольная точка искомой прямой . . Итак, . 

  1. Даны параметрические уравнения прямой , . Записать ее общее и канонические уравнения (АСК).

Указания.
1 способ. Сравнивая данные уравнения с общим видом параметрических уравнений, получим , . Тогда - каноническое, - общее.

2 способ. Выразим из первого параметрического уравнения: и подставим во второе параметрическое уравнение: . 

  1. Дано общее уравнение прямой . Записать ее канонические и параметрические уравнения (АСК).

Указания. Сравнивая данное уравнение с общим видом общего уравнения прямой, получим . Найдем точку, принадлежащую прямой . Пусть , тогда из уравнения прямой получим , то есть . Запишем каноническое уравнение и параметрические уравнения . 

^ Задачи к зачету и проверочным работам.

  1. Даны три точки А(1,2), В(-2,0), С(5,4). Записать общие, канонические и параметрические уравнения прямых, содержащих стороны и медианы треугольника АВС (АСК).

  2. Дано уравнение прямой . Записать общее и параметрические уравнения этой прямой (АСК).

  3. Написать уравнение прямой, содержащей высоту АН треугольника АВС, где А(1,2), В(-2,0), С(5,4) (ПДСК).

  4. Даны вершины треугольника , и точка пересечения его высот. Составить общие уравнения прямых, содержащих его стороны (ПДСК).

  5. Написать общее, каноническое и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой (АСК).

  6. Написать общее, каноническое и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой (ПДСК)

  7. Даны три вершины параллелограмма А(-2,-1), В(0,2), С(5,1). Записать общие уравнения прямых, содержащих его диагонали (АСК).

  8. Даны две смежные вершины А(-3,-2), В(-3,1) и центр О(-1,0) параллелограмма ABCD. Написать параметрические уравнения его сторон и (АСК).

  9. Даны три точки А(-2,-2), В(0,2), С(4,-2). Написать канонические уравнения прямых, содержащих медианы (АСК).

  10. Даны три точки А(-2,-2), В(0,2), С(4,-2). Написать канонические уравнения прямых, содержащих средние линии (АСК).

  11. Дана трапеция ABCD, А(0,1), В(2,0), С(3,-4), D(-3,-1). Написать канонические уравнения прямых, содержащих ее высоту АН и среднюю линию KN (ПДСК).

  12. Написать уравнения сторон квадрата, если длина его стороны равна , а за оси координат прямоугольной декартовой системы координат приняты его диагонали.

  13. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма и и точка пересечения его диагоналей . Написать уравнения двух других сторон параллелограмма (АСК).

  14. На векторах и построен параллелограмм с вершиной в точке . Написать общие уравнения его диагоналей (АСК).

  15. Написать канонические уравнения прямых, содержащих высоты и параллелограмма , если , , (ПДСК).

  16. Написать общее и каноническое уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и , параллельно прямой (АСК).

19*. Дана окружность . Написать параметрические уравнения ее касательных, проходящих через точку (ПДСК).

20*. Доказать, что если прямой принадлежат две точки с целочисленными координатами, то этой прямой принадлежит бесконечно много точек с целочисленными координатами.


§12. Геометрический смысл знака трехчлена .

^ Сведения по теории.

Пусть на плоскости дана прямая . Она разбивает множество точек на две полуплоскости и . Если в плоскости фиксировать аффинную систему координат, то множества точек , и зададутся следующим образом: , , .

Задачи.

  1. Дана прямая . Обозначим ту полуплоскость, которой принадлежит точка . Записать неравенство, задающее полуплоскость и выяснить, какие из следующих точек принадлежат полуплоскости : , , , (АСК)?

Указания. Выясним, каким неравенством задается полуплоскость . Так как и , . Проверим, координаты каких точек удовлетворяют неравенству, задающему , ; ; ; . 

  1. Доказать, что прямые и пересекаются и записать аналитические условия, задающие внутреннюю область того из углов, образованных этими прямыми, которому принадлежит начало координат (АСК).

Указания. Найдем направляющие векторы данных прямых , . Координаты этих векторов не пропорциональны, следовательно, прямые и пересекаются. Внутренняя область угла, содержащая начало координат, есть пересечение двух полуплоскостей с границами и , соответственно, и содержащими начало координат. Запишем неравенства, задающие эти полуплоскости. Так как , одна полуплоскость . Так как , другая полуплоскость . будет задано системой . 

  1. Доказать, что прямые и параллельны, и записать аналитические условия, задающие полосу между этими прямыми (АСК).

Указания. Найдем направляющие векторы данных прямых , . Координаты этих векторов пропорциональны, следовательно, прямые и параллельны. Полоса есть пересечение двух полуплоскостей: одна полуплоскость определяется границей и точкой , другая полуплоскость определяется границей и точкой . Возьмем и . Тогда первую полуплоскость задаст неравенство , а вторую полуплоскость – неравенство . Полоса : . 

  1. Записать аналитические условия, определяющие внутреннюю область треугольника АВС, если , , . Определить, принадлежит ли точка внутренней области (АСК)?

Указания. Внутренняя область треугольника есть пересечение трех полуплоскостей: полуплоскости с границей и точкой С, полуплоскости с границей и точкой В, полуплоскости с границей и точкой А. Чтобы записать неравенства, задающие полуплоскости, нам нужны уравнения прямых , , .
; ; . Тогда , , . Итак, : . Проверим, принадлежит ли точка множеству : - верно. То есть . 

^ Задачи к зачету и проверочным работам.

  1. Дана прямая . Обозначим ту полуплоскость, которой принадлежит точка , другую полуплоскость обозначим . Записать неравенства, задающие полуплоскости , и выяснить, какие из следующих точек принадлежат полуплоскости : , , , (АСК)?

  2. Доказать, что прямые и пересекаются и записать аналитические условия, задающие тот из углов, образованных этими прямыми, которому принадлежит начало координат (АСК).

  3. Доказать, что прямые и параллельны, и записать аналитические условия, задающие полосу между этими прямыми (АСК).

  4. Записать аналитические условия, определяющие внутреннюю область треугольника АВС, если , , . Определить, принадлежит ли точка внутренней области (АСК)?

  5. Выяснить, принадлежит ли точка внутренней области треугольника АВС с вершинами , , (АСК)?

  6. Выяснить, принадлежит ли точка полосе между двумя параллельными прямыми и (АСК)?

  7. Доказать, что прямая, заданная уравнениями не имеет общих точек с треугольником АВС, если , , (АСК).

  8. Даны прямые и . Записать аналитические условия, задающие тот из углов, образованных этими прямыми, которому принадлежит точка (АСК).

  9. Выяснить, принадлежит ли точка внутренней области треугольника АВС, если , , , (АСК)?

  10. Доказать, что прямая, заданная уравнениями не имеет общих точек с четырехугольником , если , , , (АСК).

  11. Выяснить, принадлежит ли точка внутренней области треугольника АВС с вершинами , , (АСК)?

  12. Выяснить, принадлежит ли точка полосе между двумя параллельными прямыми и (АСК)?

  13. Выяснить, имеет ли прямая, заданная уравнениями общие точки с внутренней областью треугольника АВС, если , , (АСК).

  14. Выяснить, является ли четырехугольник выпуклым, если , , , (АСК)?


§13. Взаимное расположение прямых.

Сведения по теории.

1. Если прямые и заданы различными видами уравнений.

1) определить направляющие векторы прямых и .

2) взять какую-либо точку и проверить, принадлежит ли она прямой

пересекает и , то

и , то



2. Если прямые и заданы общими уравнениями: и .

1) , то пересекает ; 2) , то ; 3) , то .

Задачи.

  1. Выяснить взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями а) и ; б) и ; в) и ; г) и (АСК).

Указания. а) прямые и пересекаются; б) прямые и параллельны;

в) Найдем направляющие векторы прямых и : и . Координаты направляющих векторов не пропорциональны, следовательно, прямые и пересекаются; г) Найдем направляющие векторы прямых и : и . Координаты направляющих векторов пропорциональны, следовательно, прямые и либо параллельны, либо пересекаются. Возьмем точку и проверим, принадлежит ли она : - система не противоречива и прямые и совпадают. 

  1. Можно ли подобрать параметр  так, чтобы прямые и а) совпадали; б) были параллельны; в) пересекались (АСК)?

Указания. Пусть - система противоречива при любых значениях . Пусть .

В оставшихся случаях прямые и пересекаются, то есть при любом , и . 

  1. Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой (ПДСК).

Указания. Обозначим . Точка принадлежит прямой , которая перпендикулярна и проходит через точку М. Запишем уравнение прямой .
. Кроме того, точка - середина отрезка принадлежит прямой . . Мы получили систему уравнений, решение которой есть координаты точки .
. 

  1. Найти координаты ортогональной проекции точки на прямую (ПДСК).

Указания. Пусть - ортогональная проекция точки М на прямую (то есть основания перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую ). Точка , где прямая проходит через точку М и перпендикулярна прямой . Запишем уравнение : . Так как .

. Мы получили систему уравнений, решив которую, найдем координаты точки .
. 

  1. Найти координаты проекции точки на прямую параллельно прямой (АСК).

Указания. Пусть - проекция точки М на прямую параллельно прямой , то есть точка пересечения прямой и прямой с, проходящей через М параллельно . Запишем уравнение прямой с: . Так как , . Так как , . Мы получили систему уравнений, решив которую, найдем координаты точки .
. 



  1. Даны уравнения , двух сторон треугольника и уравнение одной из его медиан. Найти координаты вершин треугольника (АСК).

Указания. Вершина . Проверим, принадлежит ли вершина А прямой : . (Нарисуйте картинку!) Тогда - другая вершина треугольника и - основание медианы, проведенной к стороне . Найдем координаты точек С и М.
С:


Пусть . Так как - середина отрезка АВ, получим . 

^ Задачи к зачету и проверочным работам.

  1. Выяснить взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями а) и ; б) и ; в) и ; г) и . В случае пересечения найти общую точку. (АСК).

  2. Можно ли подобрать параметры  и  так, чтобы прямые и а) совпадали; б) были параллельны; в) пересекались (АСК)?

  3. Найти координаты точки, симметричной точке относительно прямой (ПДСК).

  4. Даны точка пересечения медиан равностороннего треугольника АВС и уравнение прямой . Написать уравнения прямых и (ПДСК).

  5. Выяснить взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями (в случае пересечения найти общую точку): , , (АСК).

  6. Доказать, что прямые, заданные уравнениями ; ; ; , определяют квадрат. Найти длину его стороны и координаты вершин (ПДСК).

  7. Стороны треугольника лежат на прямых , , . Определить вид треугольника и найти координаты центра описанной около треугольника окружности (ПДСК).

  8. Даны уравнения двух сторон квадрата , и уравнение его диагонали . Написать уравнение второй его диагонали (ПДСК).

  9. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: , и уравнение одной из его диагоналей (ПДСК).

  10. Найти координаты проекции точки на прямую (ПДСК).

  11. Написать общее и каноническое уравнения прямой, проходящей через точку пересечения прямых и , параллельно прямой (АСК).

  12. Две стороны и медиана треугольника лежат на прямых, заданных уравнениями , и , соответственно. Написать уравнение прямой, содержащей третью сторону (АСК).

  13. Выяснить, определяют ли прямые заданные уравнениями ; ; ; в АСК, четырехугольник. Если да, то выяснить его вид.

  14. Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой (ПДСК).

  15. Найти координаты вершин В и С , если даны уравнения и прямых, содержащих его медианы и координаты вершины (АСК).

  16. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину , уравнение высоты и медианы , проведенных из одной вершины (ПДСК).

17*. Дана аффинная система координат , причем , , . Найти среди прямых , , пару взаимно перпендикулярных.

18*. Даны два параллелограмма и , где . Доказать, что прямые пересекаются в одной точке.


§14. Метрические задачи теории прямых.

^ Сведения по теории.

Пусть в ПДСК даны точка , прямые

Расстояние от точки до прямой

Задачи.

  1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку , если расстояние от этой прямой до точки равно (ПДСК).

Указания. Пусть искомая прямая имеет направляющий вектор . Тогда ее общее уравнение имеет вид: . Так как , получим

Мы получаем два решения задачи: 1) ; 2) . 

  1. Доказать, что расстояние между двумя параллельными прямыми и вычисляется по формуле . Вычислить расстояние между прямыми и (ПДСК).

Указания. , где . По формуле для вычисления расстояния от точки до прямой получим .
Вычислим расстояние между и . Приведем уравнение прямой к виду и применим выведенную формулу: . 

  1. Написать уравнение прямой, содержащей биссектрису того из углов между прямыми, заданными уравнениями и , внутри которого лежит начало координат (ПДСК).

Указания. Вспомним, что биссектриса угла – это множество точек, равноудаленных от сторон угла. Пусть . Это уравнение задает две прямые, содержащие биссектрисы смежных углов, образованных прямыми и . Чтобы получить нужную прямую, надо раскрыть модули с учетом того, что точка М лежит в той же полуплоскости, что и начало координат. модуль в левой части равенства раскроется со знаком "-"; модуль в правой части равенства раскроется со знаком "+".
. Итак, . 

  1. Написать уравнение окружности концентрической с окружностью и касающейся прямой (ПДСК).

Указания. Приведем уравнение к каноническому виду: - центр . По определению концентрической окружности тот же центр будет иметь и окружность . Радиус окружности будет равен расстоянию от точки до прямой (по определению касательной к окружности). Найдем . Тогда . 

  1. Найти множество точек, отстоящих от прямой , заданной уравнением , на расстояние 3 (ПДСК).

Указания. Обозначим искомое множество точек. Пусть . Итак, - пара параллельных прямых . 

^ Задачи к зачету и проверочным работам.

  1. Написать уравнение окружности с центром , касающейся прямой (ПДСК).

  2. Написать уравнения двух касательных к окружности с центром радиуса 5, если одна из них параллельна прямой , а другая перпендикулярна этой прямой (ПДСК).

  3. На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от прямых и (ПДСК).

  4. Дан треугольник со сторонами . Найти угол между медианой и биссектрисой .

  5. Дан треугольник со сторонами . Найти угол между медианой и высотой .

  6. Написать уравнение окружности с центром , касающейся прямой, заданной уравнением (ПДСК).

  7. Написать уравнения параллельных прямых, проходящих соответственно через точки и , если известно, что расстояние между ними равно 1 (ПДСК).

  8. Найти множество точек плоскости, разность квадратов расстояний от каждой из которых до двух данных точек постоянна и равна .

  9. Дан треугольник с вершинами в точках , , . Найти длины его высот (ПДСК).

  10. Найти длины высот и параллелограмма , , , (ПДСК).

  11. Написать уравнения касательных к окружности , параллельных прямой (ПДСК).

  12. Написать уравнения касательных к окружности , параллельных прямой (ПДСК).

  13. Найти прямую параллельную прямым и , делящую расстояние между ними в отношении 1:5 (ПДСК).

  14. Выяснить, пересекает ли прямая окружность (ПДСК)?

  15. Дан треугольник с вершинами в точках , , . Написать уравнение биссектрисы внутреннего угла А (ПДСК). Решить задачу для биссектрисы внешнего угла.

17*. Доказать, что прямая касается окружности (ПДСК).






Похожие:

Общее уравнение прямой. Заметим, что если дано общее уравнение прямой, то ее направляющий вектор имеет координаты. 2 это каноническое уравнение прямой iconОбщее уравнение прямой. Заметим, что если дано общее уравнение прямой, то ее направляющий вектор имеет координаты. 2 это каноническое уравнение прямой
Пусть в аффинной системе координат прямая задана точкой и направляющим вектором. Пусть м – произвольная точка прямой координаты векторов...
Общее уравнение прямой. Заметим, что если дано общее уравнение прямой, то ее направляющий вектор имеет координаты. 2 это каноническое уравнение прямой iconКупить выполненную работу можно у администратора
...
Общее уравнение прямой. Заметим, что если дано общее уравнение прямой, то ее направляющий вектор имеет координаты. 2 это каноническое уравнение прямой icon1. Вычислить определитель матрицы: 1 0 2 2 3 3 4 4 5 5
Дано дифференциальное уравнение y`` + 7y` + 10y = Тогда его общее решение имеет вид
Общее уравнение прямой. Заметим, что если дано общее уравнение прямой, то ее направляющий вектор имеет координаты. 2 это каноническое уравнение прямой icon2. Общее решение уравнения xdx + ydy =0 имеет вид
Дано дифференциальное уравнение y` = (2k − 1)x, тогда функция y = является его решением при k равном…
Общее уравнение прямой. Заметим, что если дано общее уравнение прямой, то ее направляющий вектор имеет координаты. 2 это каноническое уравнение прямой iconНайдите корень уравнения
Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней
Общее уравнение прямой. Заметим, что если дано общее уравнение прямой, то ее направляющий вектор имеет координаты. 2 это каноническое уравнение прямой icon«Геометрический смысл производной. Уравнение касательной»
Число называют угловым коэффициентом прямой, а угол α- углом между
Общее уравнение прямой. Заметим, что если дано общее уравнение прямой, то ее направляющий вектор имеет координаты. 2 это каноническое уравнение прямой iconРешение. Имеем: Подставим в уравнение
Дано дифференциальное уравнение, тогда функция является его решением при k равном…
Общее уравнение прямой. Заметим, что если дано общее уравнение прямой, то ее направляющий вектор имеет координаты. 2 это каноническое уравнение прямой iconРешение. Имеем: Подставим в уравнение
Дано дифференциальное уравнение, тогда функция является его решением при k равном…
Общее уравнение прямой. Заметим, что если дано общее уравнение прямой, то ее направляющий вектор имеет координаты. 2 это каноническое уравнение прямой iconПравила нахождения производных Производные элементарных функций Фронт работ и суть заказа
Дана функция f(x)=x3-3x2+2x Написать уравнение касательной к графику функции, параллельной прямой y=2x-11
Общее уравнение прямой. Заметим, что если дано общее уравнение прямой, то ее направляющий вектор имеет координаты. 2 это каноническое уравнение прямой icon1. Уравнение состояние идеального газа. Газовые законы
Уравнение состояния для произвольной массы газа (уравнение Менделеева- клапейрона)
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов