Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. icon

Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач.



НазваниеПредисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач.
страница2/2
Дата конвертации29.12.2012
Размер0.62 Mb.
ТипДокументы
1   2

Задание 3. Для функций, заданных параметрически, найти и .


  1. 11. 21.




  1. 12. 22.




  1. 13. 23.




  1. 14. 24.




  1. 15. 25.




  1. 16. 26.




  1. 17. 27.




  1. 18. 28.




  1. 19. 29.




  1. 20. 30.


§4. Дифференцирование неявных функций


4.1. Говорят, что уравнение задает неявно функцию , на интервале , если для всех выполняется равенство F ( x; y (x)) = 0.


Для вычисления производной функции следует продифференцировать по тождество , помня, что есть функция от x, а затем полученное уравнение разрешить относительно .

4.2.Пример 1. Найти значение в точке для функции, заданной неявно уравнением .

Решение. Дифференцируя по x обе части данного уравнения и считая при этом функцией от x, получаем:

,

откуда

.

Полагая x = 1, y = –1, находим .


4.3.Пример 2. Найти величину угла между касательными, проведенными в точках пересечения кривой x2 + y2 – 4 x + 4 y + 3 = 0 с осью Ox. Сделать чертеж.

Р е ш е н и е. Поступая по аналогии с предыдущим примером, находим:


y' = (*)

Точки пересечения данной кривой с прямой y = 0 являются решениями следующей системы:





Таких точек две: А(1;0) и В(3;0). Полагая x =1, y =0, находим согласно (*) угловой коэффициент k1 касательной к данной кривой в точке А:

k1 = у' (А ) = =.

Аналогично находим угловой коэффициент k2 касательной в точке В:

k 2 = у' (В ) = . Угол θ удовлетворяет равенству , значит

tg θ = , откуда θ = arctg (–) ? 126055'.

Прежде чем сделать чертеж , преобразуем данное уравнение в уравнение (х – 2) 2 + (у + 2) 2 = 5, которое определяет окружность с центром О'(2;2) и радиусом R= ( рис.3).



Рис.3

Задание 4. Найти значение в точке М(x0,y0) для функций, заданных неявно.

1. x3 2x2 y2 + 5x + y – 5 = 0, M (1; 1).

2. x2 + 2xy2 + 3y4 – 6 = 0, M (1; –1).

3. x4 6x2y2 + 9y2 5x2 + 15y2 + 4 = 0, M (2; 1).

4. x3 + y3 3xy + 1 = 0, M ( –2;1).

5. 5x2 + 3xy – 2y2 + 2 = 0, M (0; 1).

6. x2 + y2 4x – 10y + 19 = 0, M (3; 2).

7. x3 + x2y + y2 – 13 = 0, M (1; 3).

8. x3 2x2 + y2 = 0, M (1; 1).

9. x2 + 5xy + y2 2x + y – 6 = 0, M (1; 1).

10. x5 + y5 2xy = 0, M (1; 1).

11. x2 + xy + y2 = 7, M ( –1; –2).

12. 2x3 xy + y – 2 = 0, M (1; 5).

13. 3x2 xy + y – 3 = 0, M (1; –2).

14. x2 + 2y2 + 6x – 4y – 13 = 0, M (1; –1).

15. 3x2 5y2 6x – 20y + 25 = 0, M (2; 1).

16. 4x2 + y2 + 8x – 4y + 3 = 0, M (0; 1).

17. 2x2 9y2 + 4x + 18y + 11 = 0, M (2; –1).

18. x3 xy + y + 7 = 0, M ( –1; –3).

19. x4 – y2 y – 1 = 0, M (1; 0).

20. x3 + 2xy2 + y + 11 = 0, M ( –1; –2).

21. x3 + 5xy + y3 – 7 = 0, M (1; 1).

22. 3x2 xy + y3 – x = 0, M (0; 2).

23. x 6 + y 6 2xy = 0, M (1; 1).

24. x 2 +x2 y – y2 – y = 0, M (1; 1).

25. 7x2 + xy – y3 + 3 = 0, M (1; –2).

26. x2y2 + xy + x2 – 7 = 0, M (1; 2).

27. 2x5 + y5 2xy + 26 = 0, M (1; –2).

28. 3x2 – xy + y 2 + x – 34 = 0, M ( –2; 4).

29. x2 – x2 y + y 2 = 13, M ( –1; –3).

30. x2 y2 4y3 x = 4, M (0; –1).

Задание 5. Найти угол между касательными, проведенными в

точках пересечения кривой F ( x; y) = 0 c oсью Оx .Сделать чертеж.

1. x 2 + x 2 – 2x + 4y –3 = 0. 2. x 2 + y 2 + 4x – 4y + 3 = 0.

3. x 2 + y 2 + 2x – 2y – 4 = 0. 4. x 2 + y 2 4y – 4 = 0.

5. x 2+ y 2 + 2x + 2y –3 = 0. 6. x 2 + 6x + y 2 2y + 6 = 0.

7. x 2 + y 210 x+ 9 = 0. 8. x 2 + 10x+ y 2 6y +16 = 0.

9. x 2 + 4x + y 2 + 2y – 4 = 0. 10. x 2 + y 2 + 4x – 4 = 0.

11. x 2 + y 2 + 10x + 9 = 0. 12. x 2 6x + y 2 6y + 8 = 0.

13. x 2 + y 2 14x + 40 = 0. 14. x 2 + y 2 + 4x + 2y + 3 = 0.

15. x 2 + y 2 + 6x + 6y + 8 = 0. 16. x 2 + y 2 + 14x + 40 = 0.

17. x 2 + y 2 + 6x – 6y + 8 = 0. 18. x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 = 0.

19. x 2 + y 2 2x + 6y – 6 = 0. 20. x 2 + y 2 6x + 2y + 1 = 0.

21. x 2 + y 2 + 6x + 2y + 1 = 0. 22. x 2 + 6x + y 2 2y + 1 = 0.

23. x 2 + y 2 + 2x + 4y – 4 = 0. 24. x 2 + y 2 6x – 2y + 6 = 0.

25. x 2 + y 2 + 10x + 6y + 16 = 0. 26. x 2 + 4x + y 2 2y – 3 = 0.

27. x 2 + y 2 4x + 2y + 3 = 0. 28. x 2 + y 2 6x + 6y + 8 = 0.

29. x 2 + 4x + y 2 2y + 3 = 0. 30. x 2 + y 2 2x + 4y – 20 = 0.

§ 5. Правило Лопиталя


5.1. При раскрытии неопределенностей , кроме классических методов вычисления пределов, во многих случаях можно пользоваться правилом Лопиталя:

Eсли или и существует предел отношения их производных , то .

Это правило справедливо и в случае .


Пример1. Применяя правило Лопиталя, найти пределы:

а) ; б) ; в) .

Решение. Убедившись, что имеет место случай или , применяем правило Лопиталя.

а) ,

б) .


Здесь мы дважды применили правило Лопиталя и воспользовались первым замечательным пределом.

в) .

5.2. При раскрытии неопределенностей для применения правила Лопиталя, данное выражение надо преобразовать к неопределенностям или путем алгебраических преобразований.

Пример 2. Найти пределы:

а) ; б) .

Решение: а) Имеем неопределенность . Приведем эту неопределенность к неопределенности , а затем применим правило Лопиталя:

.

б) Имеем неопределенность . Преобразуем к неопределенности , после чего применим правило Лопиталя:



.


5.3. При раскрытии неопределенностей , , рекомендуется найти предварительно предел логарифма искомой функции.

Пример 3.Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность . Введем обозначение

, тогда . .

Получили неопределенность , применяем правило Лопиталя:

. Так как


. Следовательно .

Задание 6. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.


1. а) , б) .

2. а) , б) .

3. а) , б).

4. а) , б).

5. а) , б).

6. а) , б).

7. а) , б) .

8. а) , б) .

9. а) , б) .

10. а) , б) .

11. а) , б) .

12. а) , б) .

13. а) , б) .

14. а) , б) .

15. а) , б) .

16. а) , б) .

17. а) , б) .

18. а) , б) .

19. а) , б) .

20. а) , б) .

21. а) , б).

22. а) , б) .

23. а ), б) .

24. а ) , б) .

25. а) , б) .

26. а) , б) .

27. а) , б) .

28. а) , б) .

29. а) , б) .

30. а) , б) .






1   2




Похожие:

Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconЭлективный курс предназначен для учащихся 11 классов и предполагает совершенствование подготовки школьников по освоению основных разделов физики. Данная программа общим объемом 68 часа (2 ч/нед) дополнительно к тем, кто изучает физику на базовом уровне
Формирование представлений о постановке, классификации, приемах и методах решения школьных физических задач
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconРешение текстовых задач
Цель урока: совершенствовать навык составления уравнения и систем уравнений по условию задачи, умения проверять соответствие найденного...
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconЦентр детского технического творчества Брянской области продолжает конкурсы: по физике «Юный Архимед»
Мя и отчество своего учителя или того человека, кто занимается с Вами, помогает выполнять наши задания. В чистовик задачи записываются...
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconУрок математики 4 класс 12) Тема: Умножение многозначных чисел
Цель: Совершенствовать навык письменного умножения на двузначное, трёхзначное числа; повторить взаимосвязь действий умножения и деления;...
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconДифференциальное исчисление функций многих переменных
Понятие фмп (определение, линии и поверхности уровня фмп, предел, непрерывность фмп)
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconПрактическая работа №3 Приёмы работы в ос windows. Стандартные программы и служебные программы ос windows
Цель занятия: изучить элементы рабочего стола, панели задач, Главного меню; изучить возможности стандартных программ ос windows и...
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconАлгоритмизация и программирование Этапы решения задач на ЭВМ
Технология решения задач с помощью компьютера (моделирование, формализация, алгоритмизация, компьютерный эксперимент). Пример решения...
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconМетоды решения физических задач программа элективного курса для 9 класса Гладышев Н. Л., учитель физики г. Каргополь 2011 г. Пояснительная записка
Элективный курс предназначен для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов, желающих приобрести опыт практического применения...
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconМаоу дод «Центр детского творчества Орехово-Зуевского муниципального района». Театральная студия «Цветик – семицветик» Занятие по риторике
Цель: Помочь детям приобрести чёткие представления о нормах общения и поведения в театре
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconОтчёт работы ммо учителей начальных классов за 2008-2009 уч год
Цель работы: создать условия для обеспечения качества образования путём стимулирования непрерывного повышения уровня профессиональной...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов