Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. icon

Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач.



НазваниеПредисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач.
страница1/2
Дата конвертации29.12.2012
Размер0.62 Mb.
ТипДокументы
  1   2

Предисловие

Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач.

Рекомендуется перед выполнением индивидуальных заданий, ознакомиться с теорией и решением типовых примеров изложенных в данных методических указаниях.


§ 1. Определение производной. Дифференцирование функций


    1. Производной функции у = f (x) называется предел отноше-

ния приращения функции к соответствующему приращению аргумента,

когда приращение аргумента стремиться к нулю:

.

Если этот предел конечный, то производная существует и функция f (x) называется дифференцируемой в точке x. Производная обозначается также у' (x) или Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.

    1. Правила дифференцирования функций. Пусть С ? R — посто-

янная, и = и (х), v = v(x) функции, имеющие производные.

  1. С ' =0 . 2. (Си)' =С ∙ u' .

3. (u ± v)' = и' ± v'. 4. (u ∙ v)’ =u’ ∙ v + u ∙ v’ .

5. .

6. Правило дифференцирования сложной функции. Если функция y =

= f (u) дифференцируема по и, а функция и = φ (x)по х , то сложная функция y = f (φ (x)) имеет производную y' =f ' (u) ∙ u' (x) .

    1. ^ Таблица производных элементарных функций

1. .

1а. . 1б. .

2. . 2а. .

3. . 3а. .

4. cos u? u?. 5. .

6. . 7. (ctg u)
gif" align=bottom>.

8. . 9. .

10. . 11. .

12. (вывод этой формулы см. в п. 1.6).


1.4. Производные второго порядка. Производной второго порядка (второй производной ) от функции называется производная от ее производной, т. е.

.

Вторую производную также обозначают или . Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и т. д. Производную n-го порядка обозначают или .

1.5. Примеры. Используя правила дифференцирования и таблицу производ-

ных, найдем производные следующих функций:

1), 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) .

Решение.1) Перепишем данную функцию, записав слагаемые в виде степени: . Тогда

.

2) Записываем данную функцию в виде степени: и вычисляем:

.

3) Применив формулу 4 п. 1.2 правил дифференцирования, находим:

.

4) Дифференцируя функцию как сложную, находим производную:

.

5) В соответствии с формулой 5 п. 1.2 получаем:

.

6) По аналогии с примером 3 находим:



.

7) Так как данная функция — показательная, то согласно формуле 2 п.1.3,



^ 1.6. Степенно–показательная функция. Выведем формулу для производной степенно–показательной функции , считая что и дифференцируемые функции и .

Решение. Логарифмируя равенство и дифференцируя обе части полученного равенства , находим: . Следовательно,. Таким образом, получили .

Замечание. Степенно–показательная функция дифференцируется как степенная плюс как показательная. Например, производная функции , где х>0, равна



.

Задание 1. Найти первые производные функций. В заданиях а) и б) дополнительно найти вторые производные.

1. а) у = 3х 5; е) у = ln tg(2x+1);

б) у = ; ж) у = ;

в) у = (х + 1)2 ? cos5x; з) у = 23х + 7х 7 + ;

г) у = arctg(е2x + 3); и) у = ;

д) у = ; к) у = х arcsin x.

2. а) у = ; е) у = x2 ? cos7x ;

б) у = ; ж) у = ;

в) у = ( х + 2) ? ; з) у = ln 5 sin x;

г) у = + 8x; и) у = arcsin e 4x;

д) у =+ 3; к) у = .

3. а) у = ; е) у = sin 4 х + cos 4 x;

б) у =; ж) у = ln ;

в) у = 3х ? arcsin 2x; з) у = (х2 + 2х + 2) ? е -х;

г) у = +; и) у = sin(x+ 6) – x ? cos 4x;

д) у = 3 ctg x + 8; к) у = .

4. а) у = ; е) у = х ? arctg 3x;

б) у =; ж) у = ;

в) у = ; з) у = 3 sin2 x ? cos 2x;

г) у = ln sin (2x + 5); и) у = ;

д) у = ; к) у = .

5. а) у = ; е) у = ;

б) у = ; ж) у = ;

в) у = (ln x +1)2 ? cos 2x ; з) у = sin2 2x+ cos x ;


г) у = arcsin; и) у = ln tg 5x ;

д) у = 5 tg x + 3; к) у = .

6. а) у = ; е) у = arctg x 2 + 7x6 + 2 ;

б) у = ; ж) у = ;

в) у = (3 – sin 2 x) 3 ; з) у = х 2 ? ln(x 2 + 1);

г) у = + sin (3x + 9) ; и) у = ;

д) у = + 3; к) у = (sin x) tg x.

7. а) у = ; е) у = ;

б) у = + 4x ? ln x; ж) у = ( х 2 +1) ? arctg 4x;

в) у =arcsin(3x2 + 2); з) у = ( 2х + 5) ? ;

г) у = ; и) у = ln;

д) у = ; к) у = .

8. а) у = ; е) у = е х ? cos x;

б) у = ; ж) у = 3 х 2 ? ln x 3;

в) у = arctg ; з) у = ;

г) у = х ? arccos; и) у = (2х + 2 cos x) ? ех ;

д) у = ; к) у = ( sin 2x) cos x .

9. а) у = ; е) у = е;

б) у = ; ж) у = ln 4x ;

в) у = ; з) у = ;

г) у = + 8x + 7; и) у = cos 100 x + sin 100x ;

д) у = ( х + х 2 ) х ; к) у = .

  1. а) у = ; е) у = sin x ? cos (7x+ 5);

б) у = ; ж) у = ( е cos x + 3) 2;

в) у = х 2 ? ; з) у = ln sin (3x + 5);

г) у =arctg ; и) у = ;

д) у = ; к) у = ( х 3 ) ln х.

  1. а) у = ; е) у = (1 – х2 ) ? cos 2x;

б) у = ; ж) у = ;

в) у = ; з) у = е –х ? sin 2x ;

г) у = arctg(ln x) +ln(sinx); и) у = ln 5( x 2 – 1);

д) у = 2 ? cos (4x+x2); к) у = .

  1. а) у = ; е) у = е ctg 3 x;

б) у = ? arccos ; ж) у = ;

в) у = ; з) у = ;

г) у = arctg 2 x + 6x2; и) у = ( х 3 + х 2 ) ? е –х;

д) у = + 7; к) у = .

  1. a) у = ; е) у = ln( x 2 + 5);

б) у = ; ж) у = х 5 ? е –х;

в) у = ; з) у = arctg ;

г) у = ln 3 sin (3x + 3); и) у = ;

д) у = ; к) у = .

  1. a) у = ; е) у = 8х ? ;

б) у = ; ж) у = ( 3х +1) 5 ? cos3x;

в) у = ; з) у = ;

г) у = ln (2x3 +3x2 ); и) у = arctg 2 e x ;

д) у = ; к) у = .

  1. a) у = ; е) у = cos (10x+x3);

б) у = (5х + х 3 ) ? ln x 2; ж) у = ;

в) у = +2sin 4x + 4; з) у = ;

г) у = arccos ; и) у = ln(4+sin4x);

д) у = 0,7 arctg х; к) у = .

  1. a) у = ; е) у =(3х + 2) ? sin 3x;

б) у = ; ж) у = ln 2 tg 2x;

в) у = ; з) у = ;

г) у = х ? arccos x; и) у = arcsin( e 7x );

д) у = ; к) у = (sin2x) x.

  1. a) у = ; е) у = е х? sin 2x;

б) у = ; ж) у = arctg;

в) у = (5 + х 3 ) 2 ? е –х; з) у = ;


г) у = ; и) у = cos (3x );

д) у = ; к) у = .

  1. a) у = ; е) у =( х 2 + 6 ) ? ln 3x;

б) у = ; ж) у = + ;

в) у = ; з) у = е 3х ? cos 3x;

г) у = 2tg 3(x 3 + 2) ; и) у = arctg 2 ;

д) у = 2 sin 3x; к) у = .

  1. a) у = ; е) у = sin 26x + 3x2;

б) у = ln ctg 3 x; ж) у = ;

в) у = ; з) у = ;

г) у = arctg(tg 2 x + 2 ); и) у = ;

д) у = + 7; к) у = .

20. a) у = x7; е) у = ctg;

б) у = arctg; ж) у = ;

в) у = ; з) у = arcsin (e –4x);

г) у = ; и) у = + 3;

д) у = ln 2 sin3x; к) у = .

21. a) у = ; е) у = + ;

б) у = ; ж) у = ln 2 arctg x ;

в) у = + 5; з) у =(tg);

г) у = arctg(7sin3x); и) у = ;

д) у = ; к) у = .

22. а) y = ; е) у = ;

б) у = tg ( x 2 +3); ж) у = ;

в) у = ; з) у = ;

г) у = ln tg; и) у = ;

д) у = х 2 ? arcsin (9x + 2) ; к) у = .

  1. a) у = ; е) у = ;

б) у = ; ж) у =3 tg 6 x + 7;

в) у = ; з) у = 4х ? arctg (2x+ 9);

г) у = ; и) у = ;

д) у = ; к) у = .

24. a) y = ; е) у = tg (x 2 +cos x);

б) у = ; ж) у = ;

в) у = arctg x ; з) у = ;

г) у = ; и) у = ;

д) у = ; к) у = arctg x .

25. a) у = ; е) у = + 5;

б) у = tg x +tg 3 x +tg 5 x; ж) у = ln 2 sin x;

в) у = х 3 ? ( х – 5 cos x ) 2 з) у = arccos ;

г) у = ; и) у = (1 + 9х ) ? ;

д) у = 5; к) у = ( 1 + х ) cos x.

26. a) у = ; е) у = ln(2x – 3);

б) у = ? x2; ж) у = ;

в) у = arctg( x 2+e3x); з) у = (2х3 + 5)4 ? х 3;

г) у = ln tg (5x+1); и) у = sin 5x+cos 3x 3;

д) у = 3 ln3x; к) у = .

27. а) у = 3x5 + ; е) y = ;

б) y = arcsin (3x3 + 4); ж) y = ln cos(5x 3 + 4);

в) y = ( x+ 8) ? arctg 4x3 ; з) y = ( ctg 3x + 1 )5;

г) y = ; и) y = 5;

д) y = 4x ? ( 1 3ln x); к) y = (cos x ).

28. a) y = ; е) у = сos 2 x –2ln cos x;

б) у = arctg ; ж) у = ;

в) у = ; з) у = ;

г) у = х2 ? ctg2 x ; и) у = ;

д) у = cos 2 5x + 7x; к) у = (cos x ) sin x.

29. а) у = ; е) у = arctg;

б) у = ; ж) у = ;

в) у = (х + 5) 7 ? sin3x; з) у = (х +1) ? arccos (x 2 +1);

г) у = ; и) у = ;

д) у = 52 ctg x ; к) у = (tg x)х.

30. а) у = ; е) у = ;

б) у = 3х ? sin 5x + 8; ж) у =х? (cos ln x + sin ln x );

в) у = (3 + sin x) 2 ? x; з) у = ;

г) у = ; и) у = 0,92;

д) у = ; к) у = .


§ 2. Геометрические приложения производной

2.1. Теорема. Если кривая задана уравнением , то значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к кривой в точке :, где ( рис.1).



Рис. 1.

^ 2.2. Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

или .


2.3.Определение. Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым в этой точке.

Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами и находится по формуле:

,

причем знак “плюс” соответствует острому углу , а знак “минус”— тупо-

му.

Если , то касательные — взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.


2.4. Пример.Найти уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой . Сделать чертеж.

Решение. График функции — парабола. Так как при , , то вершиной параболы является точка (2; –1). По условию, касательная к параболе и данная прямая с уравнением параллельны; значит их угловые коэффициенты равны: k1 = y′1 =

, , . Следовательно, x0 = 3 — абсцисса точки касания параболы и прямой , — ее ордината. Таким образом, уравнение касательной имеет вид: (рис. 2).



Рис.2

Задание 2. Найти уравнение касательной к графику функции

y = f ( x), проходящей параллельно прямой. Сделать чертеж.


1. y = x2 4x + 3, y= – 4x – 4. 2. y = x2 5x + 4, y = 3x + 1.

3. y = x2 2x – 3, y = 2x + 2. 4. y = x2 6x + 8, y = 2x + 3.

5. y = – x2 2x + 3, y = 2x + 1. 6. y = x2 + 2x – 3, y = 4x – 1.

7. y = x2 + 8x – 9, y = 2x + 1. 8. y = x2 + x, y = x – 3.

9. y = x2 4x + 3, y = 2x + 4. 10. y = x2 6x + 8, y = 4x + 1.

11. y = x2 2x – 3, y = 4x –1. 12. y = x2 + 8x – 9, y = 4x.

13. y = x2 5x + 4, y = x + 3. 14. y = – x2 2x +3, y = – 6x + 4.

15. y = x2 4x + 3, y = 4x + 4. 16. y = x2 + 2x – 3, y = – 4x + 2.

17. y = x2 6x + 8, y = 6x + 1. 18. y = x2 2x –3, y = 6x + 3.

19. y = – x2 2x + 3, y = – 2x – 2. 20. y = x25x + 4, y = – 3x – 1.

21. y = – x2 + 4x, y = 2x . 22. y = x2 + 8x – 9, y = – 2x + 1.

23. y = x2 8x – 9, y = – 6x. 24. y = – x2 2x + 3, y = 4x –3.

25. y = x2 5x + 4, y = – x – 2. 26. y = x2 + 8x – 9, y = 6x.

27. y = x2 + 2x – 3, y = 2x – 2. 28. y = x2 6x + 8, y = – 4x + 2.

29. y = x2 4x + 3, y = 6x – 6. 30. y = x2 2x – 3, y = – 4x +2.

§3. Дифференцирование функций, заданных параметрически



3.1. Если функция задана параметрически двумя уравнениями , , , то ее производные вычисляются по формулам:

, .

Примечание. Производные по аргументу иногда, следуя Исааку Ньютону, обозначают точками наверху:, , . В этих обозначениях формулы, по которым находятся производные параметрически заданной функции, принимают вид:


, .

3.2.Пример 1. Найти и , если функция задана параметрически:


.

Решение.Последовательно находим производные: , ; , ;

, .

3.3.Пример 2.Написать уравнение касательной к кривой




в точке t0 = .

Р е ш е н и е. Уравнение касательной ищем в виде: у – у0= k ( x – x0 ),

где x0 = t0 cos t0 – 2sin t0 = –­­ 2; у0 = t0 sin t0 + 2 cos t0= . Найдем k = = при t = t0. Так как = cos t – t sin t – 2 cos t = t sin t cos t, =sin t + t cos t–

2sin t= t cos t – sin t , то , поэтомy k = = при t = и уравнение касательной имеет вид:

у.
  1   2




Похожие:

Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconЭлективный курс предназначен для учащихся 11 классов и предполагает совершенствование подготовки школьников по освоению основных разделов физики. Данная программа общим объемом 68 часа (2 ч/нед) дополнительно к тем, кто изучает физику на базовом уровне
Формирование представлений о постановке, классификации, приемах и методах решения школьных физических задач
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconРешение текстовых задач
Цель урока: совершенствовать навык составления уравнения и систем уравнений по условию задачи, умения проверять соответствие найденного...
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconЦентр детского технического творчества Брянской области продолжает конкурсы: по физике «Юный Архимед»
Мя и отчество своего учителя или того человека, кто занимается с Вами, помогает выполнять наши задания. В чистовик задачи записываются...
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconУрок математики 4 класс 12) Тема: Умножение многозначных чисел
Цель: Совершенствовать навык письменного умножения на двузначное, трёхзначное числа; повторить взаимосвязь действий умножения и деления;...
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconДифференциальное исчисление функций многих переменных
Понятие фмп (определение, линии и поверхности уровня фмп, предел, непрерывность фмп)
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconПрактическая работа №3 Приёмы работы в ос windows. Стандартные программы и служебные программы ос windows
Цель занятия: изучить элементы рабочего стола, панели задач, Главного меню; изучить возможности стандартных программ ос windows и...
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconАлгоритмизация и программирование Этапы решения задач на ЭВМ
Технология решения задач с помощью компьютера (моделирование, формализация, алгоритмизация, компьютерный эксперимент). Пример решения...
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconМетоды решения физических задач программа элективного курса для 9 класса Гладышев Н. Л., учитель физики г. Каргополь 2011 г. Пояснительная записка
Элективный курс предназначен для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов, желающих приобрести опыт практического применения...
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconМаоу дод «Центр детского творчества Орехово-Зуевского муниципального района». Театральная студия «Цветик – семицветик» Занятие по риторике
Цель: Помочь детям приобрести чёткие представления о нормах общения и поведения в театре
Предисловие Цель предлагаемой работы — помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач. iconОтчёт работы ммо учителей начальных классов за 2008-2009 уч год
Цель работы: создать условия для обеспечения качества образования путём стимулирования непрерывного повышения уровня профессиональной...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов