Работу выполнили учащиеся 8 класса icon

Работу выполнили учащиеся 8 класса



НазваниеРаботу выполнили учащиеся 8 класса
Васильевой Т. Г
Дата конвертации14.01.2013
Размер445 b.
ТипДокументы


  • Работу выполнили

  • учащиеся 8 класса

  • Фирсова Маргарита и Колупаева Ольга

  • под руководством учителя

  • Васильевой Т. Г.


О теореме Пифагора написано огромное количество научной литературы. В ней присутствуют, в основном, современные доказательства.



Проблема: Как возникла теорема Пифагора?



Цель: изучить эпоху возникновения теоремы Пифагора и способы её доказательства



Задачи: 1.Выяснить историю возникновения теоремы. 2.Изучить разные способы доказательства теоремы.



Гипотеза

  • Мы думаем, что теорема Пифагора возникла прежде всего из практических нужд, когда ученые древности наблюдали за различными построениями на земле.



Еще в древности возникла необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам. Построение прямых углов египтянами. Нахождение высоты объекта и определение расстояния до недоступного предмета.

  • Еще в древности возникла необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам. Построение прямых углов египтянами. Нахождение высоты объекта и определение расстояния до недоступного предмета.

  • Такие задачи решаются

  • и в нашей повседневной жизни



Пифагор – великий математик

  • Обычно открытие теоремы Пифагора приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI в до н. э.).

  • Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских рукописей показало, что утверждение было известно задолго до Пифагора.



Взгляды Кантора

  • Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 32 +42 = 52 было известно уже египтянам ещё около 2300 г до н.э.

  • По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели веревок» строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5



Взгляды вавилонян

  • Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:



"Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

  • "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."



Доказательство для равнобедренных треугольников

  • Достаточно взглянуть на мозаику из черных и светлых треугольников, изображенную на рисунке, чтобы убедиться в справедливости теоремы для треугольника АВС: квадрат построенный на гипотенузе, содержит 4 треугольника, а  на каждом катете построен квадрат, содержащий 2 треугольника.



^ Доказательство Гарфилда.

  • На рисунке 15 три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников.

  • Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.



Алгебраический метод доказательства.

  • Рис. 12 иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ!



Алгебраический метод

  • На рис. 13 ABC – прямоугольный треугольник, C – прямой угол, AB - гипотенуза, b1 – проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета a на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе.

  • Из того, что ABC подобен ACM следует ; (1)

  • из того, что ABC подобен BCM следует 2)

  • Складывая почленно равенства (1) и (2), получим



Применение теоремы Пифагора

  • Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом,



Вычисление высоты равностороннего треугольника

  • Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. Таким образом имеем



З а к л ю ч е н и е

  • Если дан нам

  • треугольник

  • И притом с прямым углом

  • То квадрат гипотенузы

  • Мы всегда легко найдем:

  • Катеты в квадрат возводим,

  • Сумму степеней находим.

  • И таким простым путем

  • К результату мы придем.







Используемая литература: 1. Геометрия: учебн. для 7-9 кл. средн. школы авт. Л. С. Атанасян 2. Геометрия: учебн. для 10-11 кл. средн. школы авт. Л. С. Атанасян 3. Энциклопедический словарь юного математика. Авт. А. П. Савин. 4. Энциклопедия для детей. Глав. ред. М. Д. Аксенова 5. Волошина А.В. Математика и искусство. М.,Просвещение,1992 6. Волошина А.В. Пифагор.,1992 7. Глейзер Г.И. История математики в школе.М.,1982 8. Литцман В. Теорема Пифагора.М.,1960



Алгебраическое доказательство

  • Пусть АВС — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С .

  • По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда, AB*AD=AC2. Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС2. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим:

  • АС2 +ВС2 =АВ(AD + DB)=АВ2. Теорема доказана.



Древнекитайское доказательство

  • Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний - квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с2, а с другой – а2 + Ь2, т.е. с2 = а2 +Ь2. Теорема доказана. Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (рис. а), не используются.



Древнеиндийское доказательство

  • Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж с характерным для индийских доказательств словом «смотри!». Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с2 перекладывается в «кресло невесты» а2 +b2 . Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII —V вв. до н.э.)





Похожие:

Работу выполнили учащиеся 8 класса iconПервый космонавт Выполнили учащиеся 2 класса

Работу выполнили учащиеся 8 класса iconВлияние спорта на физическое развитие сельских школьников(девушек) Работу выполнили: учащиеся 8 класса моу «Ахматовская сош»
Проблемный вопрос: Как влияет спорт на физическое развитие сельских школьников(девушек)?
Работу выполнили учащиеся 8 класса iconКак отгадать квадратный или кубический корень работу выполнили ученицы 9А класса: Маевская Татьяна и Голикова Екатерина
На основе исследований сформулировать алгоритмы к проведению фокусов с отгадыванием чисел
Работу выполнили учащиеся 8 класса iconСочинение ученицы 10 а класса Пащенко Ксении
В рамках акции «Диалог поколений» ребята из Сторожевской школы провели огромную работу. Писали сочинения о своих близких, воевавших...
Работу выполнили учащиеся 8 класса iconБубенцова Ирина показывает свою презентацию «Зеркальная симметрия»
«Школа Архимеда» в ноябре в 10-11 классах было проведено внеклассное мероприятие. Ребята выполнили большую работу- подготовили презентации...
Работу выполнили учащиеся 8 класса iconАнализ кратковременной самостоятельной работы по русскому языку (математике)
Выполнили работу на «2»
Работу выполнили учащиеся 8 класса iconАвтор проекта: учащиеся 9 класса Автор проекта: учащиеся 9 класса
Цель презентации используя знания из области биологии, физиологии, медицины, исторические факты, показать важную роль галогенов для...
Работу выполнили учащиеся 8 класса iconВыполнили: ученица 5-а класса Игнатьева Мирослава ученица 5-а класса Прохорова Елена Научный
Наша исследовательская работа посвящена изучению государственной и национальной символики на примерах Франции и России
Работу выполнили учащиеся 8 класса iconНаш школьный дом или Экскурсия по школе д. Абодим Выполнили: учащиеся моу оош д. Абодим

Работу выполнили учащиеся 8 класса iconЗадание 1 Реши задачу а Две машинистки одновременно начали перепечатывать рукопись в 203 страницы и выполнили работу за 7 часов. Одна машинистка перепечатывает в час 12 страниц.
Задание 1 Реши задачу а Две машинистки одновременно начали перепечатывать рукопись в 203 страницы и выполнили работу за 7 часов....
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы