Общие методические рекомендации icon

Общие методические рекомендации



НазваниеОбщие методические рекомендации
страница4/4
Дата конвертации11.09.2012
Размер0.69 Mb.
ТипМетодические рекомендации
1   2   3   4

Карточки-задания на построение графиков,
содержащих модуль


Постройте графики функций.

у = –|x| у = –|x + 1| у = ||x + 1| – 1|





Постройте графики функций.

у = –|x –1| у = 1 – |x + 1| у = |1 +|x + 1||





Постройте графики функций.





ГРАФИКИ КВАДРАТИЧНЫХ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
МОДУЛИ


1. График функции у = |f(x)| получается из графика у = f(x) следующим образом: часть графика у = f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отражается симметрично относительно оси ОХ.

2. График функции у = f(|x|) получается из графика функции у = f(x) следующим образом: при х ≥ 0 график у = f(x) сохраняется, а при х < 0 полученная часть графика отражается симметрично относительно оси ОУ.

Рассмотрим следующие примеры.

Построить графики функций:

а) у = х2 – |х| – 6; д) у = х |х – 1| – 6;

б) у = |х2х – 6|; е) у = х2 + 2х;

в) у = |х2 – |х| – 6|; ж) .

г) у = |х2 – |х| – 6| – 1;

Р е ш е н и е.

а) Краткий план построения: .

Построение графика функции у = х2х – 6 мы подробно разобрали выше, поэтому воспользуемся результатами.

1) Строим график функции у = х2 х – 6 (I).

2) График у = х2 – |х| – 6 (II) получаем из графика у = х2х – 6 отражением симметрично оси ОУ части графика при х ≥ 0.



б) у = |х2х – 6|.

Краткий план построения gif" name="graphics263" align=bottom width=116 height=27 border=0>.

1) Строим график функции у = х2х – 6 (I).



2) график функции у = |х2х – 6| (II) получаем из графика у = х2х – 6 (I) отражением симметрично относительно оси ОХ части графика, расположенной ниже оси ОХ.

в) у = |х2 – |х| – 6|.

Краткий план построения .

1) Строим график функции у = х2х – 6 (I).



2) График у = х2 – |х| – 6 (II) получаем из графика (I) отражением симметрично оси ОУ части графика х ≥ 0.

3) График у = |х2 – |х| – 6| (III) получаем из графика (II) отражением симметрично относительно оси ОХ части графика, расположенной ниже оси ОХ.

г) у = |х2 – |х| – 6| – 1.

Краткий план построения

.

1) Строим график функции у = х2х – 6 (I).




2) График у = х2 – |х| – 6 (II) получаем из графика у = х2х – 6 (I) отражением симметрично оси ОУ части графика х ≥ 0.

3) график у = |х2 – |х| – 6| (III) получаем из графика у = х2 – |х| – 6 (II) отражением симметрично относительно оси ОХ части графика, расположенной ниже оси ОХ.

4) график у = |х2 – |х| – 6| – 1 (IV) получаем из графика у = |х2 – |х| – 6| (III) сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси ОУ.

д) у = х |х – 1| – 6 

у =



(1) Построим график у = х2х – 6 при х  1,

(2) построим график у = –х2 + х – 6 при х  1.

е) у = х2 + 2х.

Преобразуем выражение, задающее функцию



у = х2 + 2х;

у = х2 + 2х – |2x + 4| 





ж) у = у =

у =

у =

(1) у = х2х – 2, х  –1 и х  5

у = х2 – 2·0,5х + 0,25 – 0,25 – 2 =

= (х – 0,5)2 – 2,25.

Краткий план построения



Строим график функции у = х2. Затем получаем график функции у = (х – 0,5)2 – 2,25 из графика у = х2 сдвигом на 0,5 единиц вправо вдоль оси ОХ и на 2,25 единиц вниз по оси ОУ.



Оставляем те части графика, которые удовлетворяют условию х  –1 и х  5.

(2) у = –х2 + х + 2, –1 < х < 5

у = –(х2х – 2) = –(х – 0,5)2 + 2,25.

График функции у = –х2 + х + 2 получаем из графика функции у = (х – 0,5)2 – 2,25, симметрично отразив последний относительно оси ОХ.


Неравенства с двумя переменными,
содержащие модуль, на координатной плоскости



Цели: научить изображать на плоскости фигуры, задаваемые неравенствами, содержащими модуль; расширить представления учащихся о взаимосвязи между алгебраическими соотношениями и их геометрическими образами на координатной плоскости.

Необходимо использовать рассматриваемый материал, включающий эстетический компонент, для развития интереса к предмету, а также для более глубокого освоения базовых умений. Кроме того, важно, чтобы учащимся были предложены задания, аппелирующие к воображению, фантазии.





















18) у > 3|х| – 2.

Строим график функции у = 3|х| – 2. Искомая область находится «над» графиком этой функции.




19) у < |3|х| – 2|.




20) |у| ≥ 3х – 2.

Заметим, что неравенство |у|f(х) равносильно совокупности двух неравенств

Итак,

Искомая область изображена на рисунке.



21) |у| < 3|х| – 2.

Учитывая, что неравенство |у| < f(х) равносильно системе неравенств получаем систему

Искомая область изображена на рисунке.



Можно рассуждать иначе. Заметив, что при замене х на –х и у на –у неравенство не меняется, сначала построим часть искомой области в I четверти, т. е. у < 3х – 2, где х ≥ 0, у ≥ 0, затем симметрично отобразим эту часть в остальные четверти.

Метод интервалов считается универсальным в сложных случаях, наиболее эффективным.

22) (|x| – 1)(у + 2) < 0.

Получаем искомую область, она симметрична относительно оси ОУ.



23. ху ≤ 2.

Сначала строим график уравнения ху = 2. Затем, применяя метод «интервалов», находим нужную область.



24) х|у| ≥ 2.

Из данного неравенства следует, что х > 0. Тогда , где х > 0, что равносильно совокупности





25) |xy| < 2.

Сначала строим график уравнения |xy| = 2, т. е. Затем применяем метод «интервалов» и получаем нужную область.






28. |у| ≥ x2 – 4x + 3  .



29. |у| < |x2 – 4x + 3|  .




30) х2у2  |x| ≥ |y|.

Строим график уравнения |у| = |х| и пользуемся методом «интервалов».




31) |x| + |у| = 2.

Сначала строим график в I четверти: х + у = 2, где х ≥ 0, у ≥ 0. Затем достраиваем график, пользуясь симметрией, относительно осей ОХ и ОУ. Получаем квадрат с вершинами (2; 0) , (0; 2), (–2; 0), (0; –2).



32) |x – 3| + |у| = 1.

График уравнения |x – 3| + |у| = 1 получается из графика уравнения |x| + |у| = 1 параллельным переносом вправо на три единицы, т. е. на вектор (3; 0).

33) |у| – |x| = 3.

Так как график симметричен относительно осей ОХ и ОУ, то сначала строим его часть ух = 3, где х ≥ 0, у ≥ 0 (в I четверти). Затем отображаем симметрично относительно осей координат.



Можно переписать уравнение в виде |у| = |x| + 3 и сделать вывод, что |у| ≥ 3, т. е. у ≤ –3 или у ≥ 3, что согласуется с рисунком.


Дидактический материал для учащихся

Упражнения.

Упростить выражения:

№ 1. .

№ 2. .

№ 3. .

№ 4. .

№ 5. .

№ 6. .

№ 7*. .

№ 8. .

№ 9. .

№ 10. .

№ 11. .

№ 12. .

№ 13. .

№ 14. .

№ 15. .

№ 16. .

№ 17. .

№ 18. Доказать, что данное выражение – целое число.

а) ;

б) ;

в) .

№ 19. Вычислите:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

№ 20. Решить уравнения:

а) |x – 3| = 5. О т в е т: {–2; 8}.

б) |x + 4| + 1 = 0. О т в е т: .

в) |3x + 2| – 4 = 0. О т в е т: .

г) . О т в е т: 2.

д) ||2x – 5| – 3| = 2. О т в е т: {0; 2; 3; 5}.

е) |x2 – 2х –1| = 2. О т в е т: {–1; 1; 3}.

№ 21. Решить уравнения:

а) |x + 5| = 3. О т в е т: {–8; –2}.

б) ||x – 2| – 3| = 1. О т в е т: {–2; 0; 4; 6}.

в) |4 – 3x| – 2 = 0. О т в е т: .

г) ||3x + 6| + 1| = 5. О т в е т: .

д) |x2 + 3х – 4| = 6. О т в е т: {–5; 2; –1; –2}.


№ 22. Решить уравнения:

а) |x – 2| + |x + 3| = 7. О т в е т: {–4; 3}.

б) |x – 5| – |x – 2| = 3. О т в е т: 2; +∞).

в) 3|x – 1| – 2|x – 2| + |x + 3| = 2. О т в е т: –3; 1].

г) |x| + 3|x + 2| = 2|x + 1|. О т в е т: –2.


№ 23. Решить уравнения:

1) |x + 3| + |x – 3| = 6.

2) |x – 1| – |x + 1| = 3.

3) |5 + x| – |8 – x| = 13.

4) |x – 3| + |x – 1| = 3.

5) |x – 1| + |x| = 9.

6) |x + 6| + |x + 4| = 5.


№ 24. Упражнения.

1) |x| = х.

2) |x – 1| = 2.

3) |2x + 5| = 7.

4) |2x + 3| + |2x – 3| = 6.

5) |x – 4| – |x + 4| = 8.

6) |2x + 4| = 3x + 2.

7) |2x – 1| = 3.

8) |x + 4| – |x – 3| = 1.

9) |x – 1| + |x – 2| = 1.

10) |x – 1| + |x + 2| = 4 + |x – 3|.

11) ||x + 1| – |x – 3|| = |x|.

12) ||x + 2| – |x – 6|| = |x|.

13) |2 – |1 – |x||| = 1.

14) |x – 7| = |x + 9|.

15) ||3 – 2x| – 1| = 2|x|.

16) |x + 2| + |x – 3| = 5.

17) х – |x – 1| = 1.


№ 25. Решить уравнения:

а) |2x – 3| = 3 – 2х. О т в е т: .

б) |4 – 5x| = 5х – 4. О т в е т:.

в) |3x – 5| = 5 – 3х. О т в е т: .

г) |7 – 4x| = 7 – 4х. О т в е т: .


№ 26. Решить уравнения:

а) |5x – 13| – |6 – 5x| = 7. О т в е т: .

б) |3x – 8| – |3x – 2| = 6. О т в е т: х.

в) |16 – 9x| – |9x – 5| = 11. О т в е т .

г) |7x – 12| – |7x – 1| = 1. О т в е т: .


№ 27. Решить уравнения:

а) х2 – 6|x| – 2 = 0. О т в е т: .

б) х2 – 4|x| – 1 = 0. О т в е т: .

в) . О т в е т: 1.


№ 28. Решить уравнения:

а) |x3 + 3х2 + х| = –х + х3. О т в е т: .

б) |3x – 1| = 4 – 2х. О т в е т: {–3; 1).

в) |х2 – 4| = х2 – 4. О т в е т: х ≤ –2; х ≥ 2.

г) |x + 2| = 2|3 – x|. О т в е т: .

д) |x + 3| = х2 + х –6. О т в е т: ±3.

е) |x2 + х – 3| = х. О т в е т: .


№ 29. Решить уравнения:

а) . О т в е т: .

б) |x2 + х + 1| = 1. О т в е т: –1; 0.

в) . О т в е т: .

г) |x2х – 2| = |2x2х – 1|. О т в е т: .

д) |3 – |2 – |1 – x||| = 2. О т в е т: –6; –2; 0; 2; 4; 8.

е) |3x – 1| + 2х = 4. О т в е т: –3; 1.

ж) . О т в е т: .

з) |x2 – 3х| = x2 – 2х. О т в е т: ; 0.

и) ||х| – 2| = 1 – 2х. О т в е т: .


№ 30. Решить уравнения:

а) |5 – 3х| = 2x + 1. О т в е т: 0,8; 6.

б) |3x – 8| – |3x – 2| = 6. О т в е т: .

в) |2x + 7| – 2|3x – 1| = 4х + 1. О т в е т: 1.

г) + |x – 3| = |x – 4|. О т в е т: 3.

д) . О т в е т: 1; 1 +.


№ 31. Решить уравнения:

1) |3x2 + 7х – 3| = 3x2 + 3х – 1. О т в е т: 0,5; –2; .

2) |x2 – 4х – 1| = x2 + 6х + 1. О т в е т: 0; –0,2.

3) |3x2 + х – 7| = 3x2 – 3х – 1. О т в е т: 1,5; –1; .

4)* . О т в е т: {–2; 2}.


№ 32. Решить уравнения:

а) х2 – 7|x| + 6 = 0;

б) х2 – 4|x| – 21 = 0;

в) (х – 2)2 – 8|х – 2| + 15 = 0;

г) (х + 3)2 – 2х – 5|х – 1| + 5 = 0;

д) х2 – |x – 5| = 5;

е) х2 + |x + 4| = 4;

ж) х2 + 4х + |x + 3| + 3 = 0;

з) х2 + 17 = 9х + 4|x – 3|.


№ 33. Решить уравнения:

а) |x2 + х – 3| = х; г) |x2 – 2х| = 3 – 2х;

б) |x2 + х – 1| = 2х – 1; д) |х – 3| = –x2 + 4х – 3;

в) |5х + 2| = 3 – 3х; е) |х|x – 1| – 2x| = x2 – 2.


№ 34. Решить уравнения:

а) |x2 – 9| + |х – 3| = 6.

б) |x2 – 5х + 4| +|x2 – 5х + 6| = 2.

в) |x2 – 9| + |х – 2| = 5.

г) |x2 – 4х + 3| +|x2 – 5х + 6| = 1.

д) |x2 – 4| – |х2 – 9| = 5.

е) .

ж) (7x2 – 3х – 4)2 + |7х + 4|(x2 – 1)2 = 0;

з) 6х – 9 = х2 (|х – 3| + 1).

и) .

к) x2 – 3х + = 0.

л) х|x| + 7х + 12 = 0.


№ 35. Решить неравенства:

а) |2х – 6| ≤ 3. О т в е т: [1,5; 4,5].

б) |3х – 1| > |2х – 5|. О т в е т: (–∞; –4)  (1,2; +∞).

в) |х2 – 5| ≥ 4. О т в е т: (–∞; –3)  [–1; 1]  (3; +∞).

г) |х2 + х – 3| ≤ |2х + х – 2|. О т в е т: (–∞; –1) .


№ 36. Решить неравенства:

а) |3х + 2| + х > 1. О т в е т: .

б) |х – 1| ≤ 2х + 1. О т в е т: [0; +∞).

в) |х2 – 2| ≤ х. О т в е т: [1; 2].

г) . О т в е т: (–∞; –1)  .


№ 37. Решить неравенства:

а) |4х – 1| + 2х – 4 ≤ 0. О т в е т: .

б) |3 – х| – |х – 2| ≤ 5. О т в е т: (–∞; +∞).

в) |2х – 6| + |4 – х| ≤ |х – 2|. О т в е т: [3; 4].

г) |х2 + 2х| + |х – 2| > 4. О т в е т: (–∞; –1)  (1; +∞).

д) |х – 4| + | х – 3|. О т в е т: .


№ 38. Решить неравенства:

а) . О т в е т: [–1; 1]  [2; 6].

б) О т в е т: (–∞; 1].

в) О т в е т: (–2; 0)  (2; +∞).

г) О т в е т: (–∞; –4) [–3; –2] (–1; 1) (4; +∞).

д) (х2 – |x| –6)(||x – 2| – 1| – 3) > 0.

О т в е т: (–∞; –3)  (–2; 3)  (6; +∞).


№ 39. Решить неравенства:

1) О т в е т: (–∞; 1)  (4; +∞).

2)

3) О т в е т: .

4)

5) О т в е т: .


№ 40. Решить неравенства:

1) |х2 + 9х + 5| ≤ |3х2 + 22х + 16|.

О т в е т: (–∞; –7]  [–5,5; –1]  [; +∞).

2) |х2 + 3х – 5| ≤ |х2 + 7х – 9|.

О т в е т: [][).

3) |х2 + 7х – 3| ≥ |3х2 + 16х – 3|. О т в е т: [–6; –4,5]  .


№ 41. Решить неравенства:

1) |13 – 2х| ≥ |4х – 9|.

2) |2х + 3| < |х| – 4х – 1.

3) |х – 1| + |х + 3| ≤ 6.

4) |х – 6| ≤ |х2 – 5х + 2|.


№ 42. Решить неравенства:

1) О т в е т: (–∞; –2]  [–1; 1]  [2; +∞).

2) О т в е т: [–10; 6].

3) О т в е т: [0; 1]  [5; 6].


№ 43. Решить систему:




№ 44. Решить систему:




№ 45. Решить систему:




№ 46. Решить систему:




№ 47. Решить систему:




№ 48. Решить систему неравенств:

1)

О т в е т: (1,2; –2); .

2) О т в е т: (–3; 1,8); (0; –1,5).

3) О т в е т: (0,2; –2); .


№ 49. Построить графики функций:

1) у = .

2) у = 3 – 1,5|х|.

3) у = 1 – |х|.

4) у = 2|х – 3|.

5) у = |х + 2| + 1.

6) у = |2 |х| – 3|.

7) у = |х + 2| + |х – 1| – |х – 3|.

8) |у| = 1 – х.

9) |у| = |х|.

10) у = |х| + х.

11) у = .

12) у = |3х – 4| – х.

13) у = х – 1 – |х – 1|.

14) у = .

15) у = .

16) у = |х – 1| + |х + 1|.

17) у = |х – 2| – |х + 2|.

18) у = |х – 3| + |2х – 1|.

19) у = |х + 3| + |2х + 1| – х.

20) .

№ 50. Построить график функции:

а) у = х2 + 2|х| – 3.

б) у = |х2 + 2х – 3|.

в) у = |х2 + 2|х| – 3|.

г) у = |х| · х + 2х – 3.


№ 51. Построить график функции:

а) у = х2 – 4|х| + 3.

б) у = |х2 – 4х + 3|.

в) у = |х2 – 4|х| + 3|.

г) у = |х| · х + 4х + 3.


№ 52. Построить график функции:

а) у = х2 + 4|х| – 5.

б) у = |х2 + 4х – 5|.

в) у = |х2 + 4|х| – 5|.

г) у = х ·|х| + 4х – 5.


№ 53. Построить график функции:

1) у = 4х ·|х| + х2 – 15х.

2) у = 2х ·|х| + х2 – 6х.

3) у = 3х ·|х| + х2 – 8х

и найти:

а) область определения и множество значений;

б) промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы;

в) точки пересечения с осями;

г) промежутки знаконопостоянства.


О т в е т ы:

1.

а) Д(y) = R, E(y) = R.

б) возрастает на (–∞; –2,5] и [1,5; +∞)

убывает на [–2,5; 1,5];

точки экстремума –2,5 и 1,5;

экстремумы 18,75 и –11,25.

в) (–5; 0); (3; 0); (0; 0).

г) у > 0 при х  (–5; 0)  (3; +∞),

у < 0 при х  (–∞; –5)  (0; 3).

2.

а) Д(y) = R, E(y) = R.

б) возрастает при х  (–∞; –3] и [1; +∞)

убывает при х  [–3; 1];

точки экстремума –3 и 1; экстремумы 9 и –3.

в) (–6; 0); (2; 0); (0; 0).

г) у > 0 при х  (–6; 0)  (2; +∞),

у < 0 при х  (–∞; –6)  (0; 2).


3.

а) Д(y) = R, E(y) = R.

б) возрастает при х  (–∞; –2] и [1; +∞)

убывает при х  [–2; 1];

точки экстремума –2 и 1; экстремумы 8 и –4.

в) (–4; 0); (2; 0); (0; 0).

г) у > 0 при х  (–4; 0)  (2; +∞),

у < 0 при х  (–∞; 4)  (0; 2).


№ 54. Построить графики функций:

а) f(x) = |–x2 + 2x + 3|.

б) f(x) = |x2 – 2x – 3|.

в) f(x) = |x + 1|·|x – 3|.

г) f(x) = |x + 1|·|x – 5|.

д) f(x) = .


№ 55. Построить графики функций:

а) f(x) = | x2 – 2|x| – 3|.

б) f(x) = | x2 – 2|x| – 3| – 2.

в) f(x) = –| x2 – 4|x| – 5|.

г) f(x) = |(|x| – 2)|x| – 3|.

д) f(x) = |(|x| + 1)·||x| – 5|.

e) f(x) = |x|·x – 4x – 5.

ж) f(x) = | x2x – 2| – 3(х + 1).

з) f(x) = | 3 – x2| – 2x.

и) f(x) = |x|·|x – 4| – 5.

к) f(x) = ||x|·x – 5| – 4|x|.


№ 56. Построить графики функций:

а) .

б) .

в) .

г) .

д) .

е) .

ж) .

з) .

и) .

к) .

л) .

м) .

н) .


№ 57. Построить графики функций:

а) .

б) .

в) .

г) .


№ 58. Построить графики функций:

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) ,

е) ,

ж) ,

з) ,

и) ,

к) ,

л) ,

м) .


№ 59. Для каждого значения с укажите число корней уравнения:

а) 4х·|x| –х2 – 15х = с;

О т в е т: если с < –11,25 или с > 18,75, один корень; два корня при с = –11,25; 18,75, три корня –11,25 < с < 18,75.


б) 2х·|x| + х2 – 6х = с;

О т в е т: один корень при с < –3 и с > 9; два корня при с = –3; 9; три корня –3 < с < 9.


в) 3х·|x| + х2 – 8х = с;

О т в е т: один корень при с < –4 и с > 8; два корня при с = –4; 8; три корня при –4 < с < 8.


№ 60. Построить графики функций:

1) у = |3 – |2x + 1|| + x.

2) .

3) .

№ 61. Построить графики функций:

1) |y| = x 5) .

2) |y| = x – 3. 6) .

3) |y| = x + 2. 7) .

4) |y| = |2x + 3|. 8) .


О т в е т ы.

№ 1. а – 2 при а ≥ 0,

–(а + 2) при а < 0.

№ 2. при а < 0,

1 – а при 0 ≤ а < 1,

а – 1 при а > 1.

№ 3. при т  (–∞; –2)  (–2; 0)  3; +∞);

при т  (0; 3).

№ 4. 1 при х  –1,

при –1  х  1.

3 при х  1.

№ 5. 1 при х  –1,

при х –1; 0)  (0; 1).

1 при х  1.

№ 6. х2 – 4х – 12 при х  2,

(х + 2)2 при х  2.

№ 7. при 0  в  1,

при в  1.

№ 8. при х  –3,

при х  –3.

№ 9. при х  0,

при 0  х  1,

при х  1.


№ 10. при х  –1,

при –1  х  0,

при 0  х  1,

при х  1.

№ 11. при х  1,

при 1  х  2,

при х  2.


№ 12. при х (–∞; –1)  (0; 1),

при х (–1; 0),

при х [1; +∞).

№ 13. при х  –1,

при –1  х  0,

при х  0.

№ 14. – при х  –1,

при –1  х  0,

при 0  х  2 и х  2.

№ 15. при х  0,

при 0  х  1,

при х  1.

№ 16. при х  0,

при 0  х и х  1,

при х  1.

№ 17. при r  0,

при 0  r  1,

при r  1.


ЛИТЕРАТУРА


Литература для учителя.

1. Болтянский, В. Г., Сидоров, Ю. В., Шабунин, М. И. Лекции и задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1971.

2. Вавилов, В. В., Мельников, И. И., Олехник, С. Н., Пасиченко, П. И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства: спра-вочное пособие. – М.: Наука, 1987.

3. Галицкий, М. Л., Гольдман, А. М., Звавич, Л. И. Планиро-вание учебного материала для 8 класса с углубленным изучением математики: методическое пособие. – М., 1988. – 78 с.

4. Горнштейн, П., Мерзляк, А., Полонский, В., Якир, М. Экза-мен по математике и его подводные рифы. – М.: Илекса; Харьков: Гимназия, 1998. – 236 с.

5. Гусев, В. А. Внеклассная работа по математике в 6–8 классах: книга для учителя. – М.: Просвещение, 1984.

6. Дорофеев, Г. В., Потапов, М. К., Розов, Н. Х. Пособие по математике для поступающих в вузы (Избранные вопросы элементарной математики). – М.: Наука, 1973.

7. Егерман, Е. Задачи с модулем. 9–10 классы // Математика. – № 23. – 2004. – С. 18–20.

8. Егерман, Е. Задачи с модулем. 10–11 классы // Математика. – № 25–26. – 2004. – С. 27–33.

9. Егерман, Е. Задачи с модулем. 10–11 класс // Математика. – № 27–28. – 2004. – С. 37–41.

10. Задания для подготовки к тестированию по математике: учебное пособие / Н. И. Бессарабов, Р. А. Лозовская, Г. В. Сохадзе. – Новочеркасск: ЮРГТУ, 2000. – 36 с.

11. Звавич, Л. И., Шляпочник, Л. Я., Чинкина, М. В. Алгебра и начала анализа. 8–11 кл.: пособие для школ с углубленным изучением математики. – М.: Дрофа, 1999. – 352 с.

12. Коршунова, Е. Модуль и квадратичная функция // Математика. – № 7. – 1998.

13. Садыкина, Н. Построение графиков и зависимостей, содержащих знак модуля // Математика. – № 33. – 2004. – С. 19–21.

14. Сканави, М. И. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. – Тбилиси, 1992.

15. Сивашинский, И. Х. Теоремы и задачи по алгебре и элементарным функциям. – М.: Наука, 1971.

16. Скворцова, М. Уравнения и неравенства с модулем. 8–9 классы // Математика. – № 20. – 2004. – С. 17.

Литература для учащихся.

1. Аверьянов, Д. И., Алтынов, П. И., Баврин, Н. Н. Математика: большой справочник для школьников и поступающих в вузы. – 2-е изд. – М.: Дрофа, 1999. – 864 с.

2. Алгебра. 8 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / К. С. Муравин, Г. К. Муравин, Г. В. Дорофеев. – М.: Дрофа, 1997. – 208 с.

3. Виленкин, H. Я, Виленкин, Л. Н., Сурвилло, Г. С. и др. Алгебра. 8 класс: учебн. пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1995. – 256 с.

4. Виленкин, Н. Я., Сурвилло, Г. С., Симонов, А. С., Кудрявцев, А. И. Алгебра. 9 класс: учебн. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1996. – 384 с.

5. Галицкий, М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8–9 классов: учебн. пособие для учащихся и классов с углубленным изучением математики. – 3-е изд. – М.: Просвещение 1995. – 217 с.

6. Громов, А. И., Савчин, В. М. Математика для поступающих в вузы. – М.: Просвещение, 1997.

7. Домашняя математика: книга для учащихся общеобразовательных учреждений / М. В. Ткачева, Р. Г. Газарян, Б. Н. Кукушкин и др. – М.: Просвещение, 1998. – 303 с.

8. Карп, А. П. Сборник задач по алгебре для учащихся 8–9 классов школ с углубленным изучением математики. – С.-Пб.: Образование, 1993.

9. Мерзляк, А. Г., Полонский, В. Б., Якир, М. С. Алгебраичес-кий тренажер. – М.: Илекса, 2001. – 320 с.

10. Черкасов, О. Ю., Якушев, А. Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – 3-е изд. исправл. и доп. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998. – 416 с.

11. Шабунин, М. И. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 1999. – 640 с.

12. Шарыгин, Н. Ф. Учебн. пособие для 10 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1994. – 252 с.
1   2   3   4




Похожие:

Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по проведению межевания объектов землеустройства (в ред письма Росземкадастра от 18. 04. 2003) Общие положения
Настоящие Методические рекомендации по проведению межевания объектов землеустройства (далее Методические рекомендации) разработаны...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по выполнению контрольной работЫ №3 по курсу
Общие методические указания по изучению курса математики и правила выполнения контрольных работ
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации для студентов практического занятия по теме: «Общие основы массажа. Техника приемов поглаживания и растирания.»
Дидактическая база занятия: методические рекомендации для преподавателя и студентов к практическому и семинарскому занятию, учебники,...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации учителя логопеда родителям детей с речевыми недостатками общие методические рекомендации: Покажите ребёнка врачам-специалистам
Родителей, недооценивающих серьёзность положения, следует убедить в важности логопедической работы, показав например, тетради с выраженной...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по проведению межевания объектов землеустройства (далее Методические рекомендации) разработаны в соответствии с Положением
Настоящие Методические рекомендации по проведению межевания объектов землеустройства (далее Методические рекомендации) разработаны...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации изготовление театральной
...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации-комментарии
Методические рекомендации-комментарии – приложение к Программе деятельности Союза детских организаций Тамбовской области на 2012-2013...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по организации работы методических комиссий Методические рекомендации по организации работы методических комиссий в гбоу спо «Дзержинский индустриально-коммерческий техникум»
Одним из основных звеньев средних профессиональных учебных заведений, которое организует и осуществляет методическую работу по обучению...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по теме : "Раннее выявление детей и молодежи, злоупотребляющих психоактивными веществами (пав)"
Методические рекомендации предназначены для педагогов, школьных психологов, социальных работников, медицинских работников лечебно-профилактических...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по написанию части С, по выполнению задания А27, включённого в кимы 2009 года, и общие советы по совершенствованию методики обучения русскому языку
Курошина Л. Н. Рекомендации по подготовке к егэ по русскому языку / Л. Н. Курошина – Ульяновск: уипкпро, 2009. – 45 с. – экз
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по обучению школьников Правилам дорожного движения / под общ ред. А. В. Рубина. Красноярск, Сибюи мвд россии, 2006. 192 с
...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов