Общие методические рекомендации icon

Общие методические рекомендации



НазваниеОбщие методические рекомендации
страница2/4
Дата конвертации11.09.2012
Размер0.69 Mb.
ТипМетодические рекомендации
1   2   3   4
Тема 3. Графики функций, содержащих модуль

Демонстрация приемов построения графиков на характерных примерах и выполнение упражнений.


Занятие 5

Построение графиков функций,
содержащих модуль


Построение графиков функций вида у = f(|x|); у = |f(x)|; у = |f(|x|)|; у = |f1(x)| + |f2(x)| + … + |fn(x)|.

Цели: научить учащихся строить графики, содержащие модуль; закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений.

* Когда в «стандартные» функции, которые задают прямые, параболы, гиперболы, включают знак модуля, их графики становятся необычными. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения графиков элементарных функций, а также твердо знать и понимать определение модуля числа.

М е т о д и ч е с к и е р е к о м е н д а ц и и.

Для построения всех типов графиков учащимся достаточно хорошо понимать определение модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе.

Целесообразно рассматривать построение графиков в следующей последовательности:

у = f(|x|); у = |f(x)|; у = |f(|x|)|; у = |f(x)| + |g (x)| + …; |у| = f(x); |у| = |f(x)|.

Построение графиков следует осуществлять двумя способами:

1) на основании определения модуля;

2) на основании правил (алгоритмов) геометрического преобразования графиков функций.

^ Построение графика функции у = f(|x|).

у = f(|x|) =

Следовательно, график функции у = f(|x|) состоит из двух графиков: у = f(x) – в правой полуплоскости, у = f(–x) – в левой полуплоскости.

Исходя из этого, можно сформулировать правило (алгоритм).

График функции у = f(|x|) получается из графика функции у = f(x) следующим образом: при х  0 график сохраняется, а при х < 0 полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ.

Пример.

Построить график функции у = 2 |x| – 2.

П о с т р о е н и е.

1-й с п о с о б.

у = 2 |x| – 2 

2-й с п о с о б.


а) Строим график функции у = 2x – 2 для х > 0.

б) Достраиваем его левую часть для х  0, симметрично построенной относительно оси ОУ.




З а д а н и е. Построить график функции:

у = |x| – 6 (8 класс);

у = х2 – |x| – 6 (9 класс).

График функции у = |f(x)|.

|f(x)| =

Отсюда вытекает алгоритм построения графиков функции у = |f(x)|.

а) Строим график функции f(x).

б) Часть графика у = f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ.

Пример.

Построить график функции у = |х – 2|.

1. П о с т р о е н и е.

а) Строим график функции у = х – 2.

б) График нижней полуплоскости отображаем вверх симметрично относительно оси ОХ.

2. у = |х – 2| 





З а д а н и е. Самостоятельно построить график функции:

y = |x – 6| (для 8 класса);

y = |x2x – 6| (для 9 класса).


Построение графика функции у = |f(|x|)|.

П р а в и л о (алгоритм) п о с т р о е н и я.

Чтобы построить график функции у = |f(|x|)|, надо сначала построить график функции у = f(x) при х > 0, затем при х < 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(|x|) < 0, построить изображение, симметричное графику f(|x|) относительно оси ОХ.

Пример.

Построить график функции у = |1 – |х||.

П о с т р о е н и е.

1. у = |1 – |х||





2. 1) Строим график функции у = 1 – х.

2) График функции у = 1 – |х|, получаем из графика функции у = 1 – х отражением симметрично (при х  0) относительно оси ОУ.

3) График функции у = |1 – |х||, получаем из графика функции у = 1 – |х| отображением симметрично оси ОХ нижней части графика.

З а д а н и е. Самостоятельно построить график функции:

y = ||x| – 6| (для 8 класса);

y = |x2 – |x| – 6| (для 9 класса).


Построение графиков вида у = |f1(x)| + |f2(x)| + … + |fn(x)|.

При построении графиков функций такого рода наиболее распространенным является метод, при котором знак модуля раскрывается на основании самого определения модуля.

Как правило, область допустимых значений данной функции разбивают на множества, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве функцию записывают без знака модуля и строят график. Объединение множества решений, найденных на всех частях области допустимых значений функции, составляет множество всех точек графика заданной функции.

Пример.

Построить график функции у = |х – 1| + |х – 3|.

Р е ш е н и е.

Точки х = 1 и х = 3 разбивают числовую ось на три промежутка, для каждого запишем функцию:

1) при х  1 имеем у = 4 – 2х;

2) при 1  х  3 имеем у = 2;

3) при х  3 имеем у = 2х – 4.




З а д а н и е. Самостоятельно построить график функции:

у = |х + 2| + |х – 1| – |х – 3|.


Метод вершин

Графиком непрерывной кусочно-линейной функции является ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями.

Пример 1.

Построить график функции у = |х| – |х – 1|.

А л г о р и т м п о с т р о е н и я:

1) Найдем нули каждого подмодульного выражения х = 0 и х = 1.

2) Составим таблицу, в которой кроме 0 и 1 записываем по одному целому справа и слева от этих значений.


х

–1

0

1

2

у

–1

–1

1

1


3) Наносим эти точки на координатную плоскость и соединяем последовательно.




Точки перелома и есть вершины ломаной.


Пример 2.

Построить график функции у = 3х + 1 – |х + 1| + 2|х|.

Действуем по алгоритму.

х

–2

–1

0

1

у

–2

0

0

4

Наносим точки на координатную плоскость и соединяем соседние точки отрезками.



Можно показать школьникам еще один метод построения графиков кусочно-линейных функций. График будет строиться путем сложения ординат графиков функций у = |х + 1| и у = |х – 2|, соответствующих одним и тем же абсциссам.




З а д а н и е. Самостоятельно построить график функции:

у = |х + 1| – |х – 2|.



Домашнее задание. № 48 (15 – любых); 51 (2 – любых).


Занятие 6

^ Построение графиков вида: |у| = f(x) и |у| = |f(x)|.
Решение уравнений и неравенств графическим способом


Цели: научить учащихся строить графики вида |у| = f(x) и |у| = |f(x)|; рассмотреть графический способ решения уравнений и неравенств, содержащих модуль; закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений.

^ Ход занятия

I. Проверка домашнего задания.

II. Самостоятельная работа по карточкам (Приложение 7).

III. Объяснение нового материала.

^ Построение графиков вида |у| = f(x).

Учитывая, что в формуле |у| = f(x), f(x)  0, и на основании определения модуля |у| =

Перепишем формулу |у| = f(x) в виде у =  f(x), где f(x)  0.

Исходя из этого, сформулируем правило-алгоритм.

Для построения графиков вида |у| = f(x) достаточно построить график функции у = f(x) для тех х из области определения, при которых f(x)  0, и отразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.

Таким образом, график зависимости |у| = f(x) состоит из графиков двух функций: у = f(x) и у = –f(x).

Построить график функции |у| = 1 – х.

Р е ш е н и е.

1-й способ.

|у| = 1 – х


2-й способ.

1) Строим график функции у = 1 – х.

2) Отражаем ту часть графика, которая находится выше оси абсцисс симметрично относительно оси абсцисс.



З а д а н и е. Самостоятельно решить:

1) |у| = 1;

2) |у| = х – 1;

3) |у| = 2х + 3 (для 8 классов);

4) |у| = х2 – 5х + 6 (для 9 классов).


Построение графиков вида |у| = |f(x)|.

Осуществляя уже известные преобразования графиков, выполняем построение сначала графика у = |f(x)|, а затем множество точек, координаты которых удовлетворяют условию |у| = |f(x)|.

П о р я д о к п о с т р о е н и я.

1. Строим график функции у = f(x).

2. Часть графика f(x) < 0, симметрично отображаем относительно оси ОХ.

3. Полученный график симметрично отражаем относительно оси ОХ.


Пример.

Построить график уравнения |у| = |1 – х|.

Р е ш е н и е.

1-й способ.

|у| = |1 – х| 


2-й способ.

1. Строим график функции у = 1 – х.

2. График у = |1 – х| получаем из графика у = 1 – х, симметрично отобразив ту часть, лежащую под осью ОХ, относительно оси ОХ.

3. График |у| = |1 – х| получаем из графика
у = |1 – х|, отобразив последний симметрично относительно оси ОХ.




З а д а н и е. Самостоятельно решить:

1) |у| = |х|;

2) |у – 1| = |х + 2|;

3) |у| = |х – 3| (для 8 классов);

4) |у| = |х2х – 6| (для 9 классов);

5) |у| = 1 – |х|.


Решение уравнений и неравенств графическим способом.

Решите уравнение |х – 1| + 2х –5 = 0.

Р е ш е н и е.

Решим уравнение графически. Представим уравнение в виде:

|х – 1| = 5 – 2х.

Строим два графика у = |х – 1| и у = –2х + 5.

Графики функций пересекаются в точке

х = 2.

х = 2 – корень исходного уравнения.

О т в е т: 2.

З а д а н и е. Самостоятельно решить:

|5 – |x|| = 3.

Решить неравенство 3|x| – 2  2 – x

Р е ш е н и е.

Строим график функции

у = 3|х| – 2 и у = 2 – х.

Решением данного неравенства

является промежуток (–2; 1).

О т в е т: (–2; 1).








^ IV. Решение уравнений.

1. Решить уравнение |х + 6| = |х –2| разными способами.

(Четыре ученика работают у доски.)

1) Используя стандартный алгоритм:

|х + 6| = |х –2| 

О т в е т: –2.

2) Решаем, опираясь на геометрические соображения.

|х + 6| = |х –2|






На равном расстоянии от точки –6 и 2 лежит единственная точка х = –2.

О т в е т: –2.

3) Возведением в квадрат.

|х + 6| = |х –2|;

(х + 6)2 = (х – 2)2;

(х + 6)2 – (х – 2)2 = 0;

(х + 6 – х + 2) (х + 6 + х – 2) = 0;

8 (2х + 4) = 0,

х = –2.

О т в е т: –2.

4) Графическое решение.

Построим графики

(I) у = |х + 6|

(II) у = |х –2|



О т в е т: –2.




2. Решить уравнение |х + 1| – |х| + 3|х – 1| – 2|х – 2| – х – 2 = 0.

Для этого построим график функции:

у = |х + 1| – |х| + 3|х – 1| – 2|х – 2| – х – 2 = 0.

Строим, используя метод вершин.




Заполним таблицу:


х

–2

–1

0

1

2

3

у

0

–2

–2

–4

0

0


Решаем уравнение: у = 0.

О т в е т: х = –2; х  2.

Домашнее задание. 1) № 60 (2; 4; 7; 8); 2) подготовиться к проверочной работе.


Занятие 7

Проверочная работа

Цель: выяснить степень усвоения учащимися программы курсов.

В а р и а н т I


1. Постройте график функции у = |2х – 1| – 3х.

2. Решите уравнение:

а) |3х + 5| = 6;

б) |х + 1| = 3(2 – х);

в) |2х + 1| + |х + 3| = 4.

3. Решите неравенства:

а) |1 – 2х|  3; в) |х – 1|  |x|.

б) |х2 – 2х|  х;

В а р и а н т II

1. Постройте график функции у = .

2. Решите уравнение:

а) |х| = –х – 2;

б) х2 + |х| – 2 = 0;

в) |х2 – 4| + |х – 2| = 2.

3. Решите неравенства:

а) |х2 – 2х – 3|  4;

б) х|3х – 1|  3;

в) |х + 1| – 3|х – 2|  x + 4.


В а р и а н т III

1. Постройте график функции у = |х –2| + |2х – 1|.

2. Решите уравнение:

а);

б) |х +3| – 2 |1 – 3х| + 5х = 0;

в) х2 – 5х – 6 = 0.

3. Решите неравенства:

а) (2х – 1) |х + 3|  3х;

б) 3|х – 3| – |4 + 3х|  х + 3;

в) |х| – 2|х – 1| + 4|х – 3|  5x.

Домашнее задание. Выполнить творческие задания из Приложения 9 на альбомных листах.


Занятие 8

Модуль в заданиях
единого государственного экзамена


Цели: познакомить учащихся с решением некоторых типов заданий, содержащих модуль; предоставить учащимся шанс оценить свои возможности.

Ход занятия

^ I. Анализ проверочной работы.

II. Решение упражнений.

Пример 1.

При каких значениях параметра а число корней уравнения ||x2 – 2x| – 7| = a в четыре раза больше а?

Р е ш е н и е.

Построим график у = ||x2 – 2x| – 7|.



Проводим горизонтали у = а при различных а, получаем информацию о числе пересечений этой горизонтали с графиком левой части.

Значения а

(– ∞; 0)

0

(0; 6)

6

(6; 7)

7

(7; +∞)

Число корней

0

2

4

5

6

4

2


Во второй строке таблицы есть ровно два числа, кратные четырем: 0 и 4. Ситуация из первого столбца невозможна, так как а < 0 и 4а = 0 одновременно. Также невозможна ситуация из предпоследнего столбца. В случае с третьим столбцом есть число а, для которого 0 < а < 6 и при этом 4а = 4.

О т в е т: 1.

Пример 2.

Решить уравнение .

Р е ш е н и е.

,

,

2 + |x + 1| = 3x + 1,

|x + 1| = 3x – 1

или

или

или

О т в е т: 1.

1   2   3   4




Похожие:

Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по проведению межевания объектов землеустройства (в ред письма Росземкадастра от 18. 04. 2003) Общие положения
Настоящие Методические рекомендации по проведению межевания объектов землеустройства (далее Методические рекомендации) разработаны...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по выполнению контрольной работЫ №3 по курсу
Общие методические указания по изучению курса математики и правила выполнения контрольных работ
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации для студентов практического занятия по теме: «Общие основы массажа. Техника приемов поглаживания и растирания.»
Дидактическая база занятия: методические рекомендации для преподавателя и студентов к практическому и семинарскому занятию, учебники,...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации учителя логопеда родителям детей с речевыми недостатками общие методические рекомендации: Покажите ребёнка врачам-специалистам
Родителей, недооценивающих серьёзность положения, следует убедить в важности логопедической работы, показав например, тетради с выраженной...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по проведению межевания объектов землеустройства (далее Методические рекомендации) разработаны в соответствии с Положением
Настоящие Методические рекомендации по проведению межевания объектов землеустройства (далее Методические рекомендации) разработаны...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации изготовление театральной
...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации-комментарии
Методические рекомендации-комментарии – приложение к Программе деятельности Союза детских организаций Тамбовской области на 2012-2013...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по организации работы методических комиссий Методические рекомендации по организации работы методических комиссий в гбоу спо «Дзержинский индустриально-коммерческий техникум»
Одним из основных звеньев средних профессиональных учебных заведений, которое организует и осуществляет методическую работу по обучению...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по теме : "Раннее выявление детей и молодежи, злоупотребляющих психоактивными веществами (пав)"
Методические рекомендации предназначены для педагогов, школьных психологов, социальных работников, медицинских работников лечебно-профилактических...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по написанию части С, по выполнению задания А27, включённого в кимы 2009 года, и общие советы по совершенствованию методики обучения русскому языку
Курошина Л. Н. Рекомендации по подготовке к егэ по русскому языку / Л. Н. Курошина – Ульяновск: уипкпро, 2009. – 45 с. – экз
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по обучению школьников Правилам дорожного движения / под общ ред. А. В. Рубина. Красноярск, Сибюи мвд россии, 2006. 192 с
...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов