Общие методические рекомендации icon

Общие методические рекомендации



НазваниеОбщие методические рекомендации
страница1/4
Дата конвертации11.09.2012
Размер0.69 Mb.
ТипМетодические рекомендации
  1   2   3   4

Общие методические рекомендации


Данный элективный курс дает примерный объем знаний, умений и навыков, которым должны овладеть школьники. В этот объем, безусловно, входят те знания, умения и навыки, обязательное приобретение которых предусмотрено требованиями программы общеобразовательной школы: однако предполагается более высокое качество их сформированности. Учащиеся должны научиться решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования. Следует отметить, что требования к знаниям и умениям ни в коем случае не должны быть завышены. Чрезмерность требований порождает перегрузку и ведет к угасанию интереса. Одна из целей преподавания данного курса ориентационная – помочь осознать ученику степень значимости своего интереса к математике и оценить свои возможности, поэтому интерес и склонность учащегося к занятиям на курсах должны всемерно подкрепляться и развиваться.

В методической литературе «модулю» уделяется немало внимания, однако наблюдения показывают, что задания с модулем вызывают у учащихся затруднения, и они допускают ошибки. Одна из причин таких ошибок кроется, на наш взгляд, в непонимании учащимися определения модуля числа:



При работе над определением модуля числа учитель должен обратить внимание учащихся на то, что число X может быть как отрицательное, так и положительное. Для построения всех типов графиков учащимся достаточно хорошо понимать определение модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе. Целесообразно познакомить учащихся с определением четной и нечетной функции.

В каждой теме курса имеются задания на актуализацию и систематизацию знаний и способов деятельности, что способствует эффективному освоению предлагаемого курса. На уроках можно использовать фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащихся класса. Эта форма работы развивает точную, лаконичную речь, способность работать в скором темпе, быстро собираться с мыслями и принимать решения.

Можно рекомендовать комментированные упражнения, когда один из учеников объясняет вслух ход выполнения задания. Эта форма помогает учителю «опережать» возможные ошибки. При этом нет механического списывания с доски, а имеет место процесс повторения. Сильному ученику комментирование не мешает, среднему – придает уверенность, а слабому – помогает. Ученики приучаются к вниманию, сосредоточенности в работе, к быстрой ориентации в материале.

Поурочные домашние задания являются обязательными для всех. Активным учащимся можно давать задания из дополнительной части или предложить творческие задания. Проверка заданий для самостоятельного решения осуществляется на занятии путем узнавания способа действия и называния ответа.
Данный курс содержит дидактический материал, как для учителя, так и для учащихся, а также приводятся возможные варианты организации деятельности учащихся.

Проверочные работы рассчитаны на часть урока, целиком проверочная или самостоятельная работа может быть предложена для домашнего решения. Задания выбираются по усмотрению учителя, в зависимости от состава слушателей курса и их подготовленности.

Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют различные задания в соответствии со своими познавательными приоритетами и возможностями, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы, а также разнообразных творческих заданий.

Курс является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты, развивать тематику или заменять какие-либо разделы другими (в Приложении содержится разнообразная дополнительная информация, в том числе и исторические сведения). Главное, чтобы они были небольшими по объему, интересными для учащихся, соответствовали их возможностям. Программа мобильна, т. е. дает возможность уменьшить количество задач по данной теме (так как многие задания предназначены на отработку навыков по одному типу задач) при установлении степени достижения результатов. Дидактический материал для учителя содержит методические рекомендации к каждому занятию. Программа данного элективного курса позволяет организовать повторение и закрепление понятия модуля, решение заданий, содержащих модуль «блоками» и на занятиях в старших классах, подбирая упражнения, соответствующие возрасту и уровню подготовки учащихся.

Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятии могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше. Хотя при изучении курса не ставится цель выработки каких-либо специальных умений и навыков, при достаточно полном рассмотрении вопросов курса несомненно появится прогресс в подготовке учащихся.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

– точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;

– применять изученные алгоритмы для решения соответствующих заданий;

– преобразовывать выражения, содержащие модуль;

– решать уравнения и неравенства, содержащие модуль;

– строить графики элементарных функций, содержащих модуль.

Для успешного анализа и самоанализа необходимо определить критерии оценки деятельности учащихся, они должны быть известны и родителям.

^ Возможные критерии оценок.

Критерии при выставлении оценок могут быть следующие.

Оценка «отлично» – учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями учащийся продемонстрировал умение работать самостоятельно, творчески. Как правило, для получения высокой оценки учащийся должен показать не только знание теории и владение набором стандартных методов, но и известную сообразительность, математи-ческую культуру.

^ Оценка «хорошо» – учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно (без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.

^ Оценка «удовлетворительно» – учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнять простые задания.

Пояснительная записка


Предлагаемый курс своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 8–9 классов, которым интересна математика. Данный элективный курс направлен на расширение знаний учащихся, повышение уровня математической подготовки через решение большого класса задач. Стоит отметить, что навыки в решении уравнений, неравенств, содержащих модуль, и построение графиков элементарных функций, содержащих модуль, совершенно необходимы любому ученику, желающему не только успешно выступить на математических конкурсах и олимпиадах, но и хорошо подготовиться к поступлению в дальнейшем в высшие учебные заведения. Материал данного курса содержит «нестандартные» методы, которые позволяют более эффективно решать широкий класс заданий, содержащих модуль, и, безусловно, может использоваться учителем как на уроках математики в 8–9 классах, так и на факультативных и дополнительных занятиях. Наряду с основной задачей обучения математики – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, выбору профиля дальнейшего обучения.

Цели курса:

– помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как: а) преобразование выражений, содержащих модуль; б) решение уравнений и неравенств, содержащих модуль; в) построение графиков элементарных функций, содержащих модуль;

– создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;

– помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.

Задачи курса:

– научить учащихся преобразовывать выражения, содержащие модуль;

– научить учащихся решать уравнения и неравенства, содержащие модуль;

– научить строить графики, содержащие модуль;

– помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;

– помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Данный курс рассчитан на 8 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий. Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного (или домашнего) решения. Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, практическая работа, семинар, творческие задания. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки: уровень сложности задач варьируется от простых до конкурсных и олимпиадных. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

Программа может быть эффективно использована в 8–9 классах с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, мышления учащихся, предоставляет возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения и дальнейшей специализации.

В состав учебно-методического комплекта входят:

1. Учебное пособие для школьников, включающее задачи, задания и упражнения для закрепления знаний и отработки практических навыков, творческие задания.

2. Методическое пособие для учителя с рекомендациями по проведению занятий, решению задач, организации промежуточного и итогового контроля знаний учащихся.

3. Приложения, содержащие дополнительную информацию по данному курсу.

Содержание программы

Тема 1. Модуль: общие сведения. Преобразование выражений, содержащих модуль (1 ч)

Занятие 1. Модуль. Общие сведения: определение, свойства модуля, геометрический смысл модуля. Преобразование выражений, содержащих модуль.

М е т о д ы о б у ч е н и я: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема 2. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль (3 ч)

Занятие 2. Решение уравнений, содержащих модуль (1 ч). Решение уравнений вида:

.

М е т о д ы о б у ч е н и я: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.

Занятие 3. Решение неравенств, содержащих модуль (1 ч). Решение неравенств вида:

.

М е т о д ы о б у ч е н и я: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.

Занятие 4. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль. Семинар (1 ч)

Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль в модуле. Метод замены переменной. Решение систем уравнений и неравенств, содержащих модуль. Самостоятельная работа (15 мин).

М е т о д ы о б у ч е н и я: беседа, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема 4. Графики функций, содержащих модуль (2 ч)

Занятие 5. Построение графиков функций, содержащих модуль (1 ч). Построение графиков функций вида:

у = ; у = ; и уравнений ; |у| = |f (х)|.

М е т о д ы о б у ч е н и я: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.

Занятие 6. Построение графиков функций, содержащих модуль (1 ч). Построение графиков уравнений вида:

|у| = f(х) и |у| = |f(х)|.

М е т о д ы о б у ч е н и я: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решеннных задач.

Занятие 7. Проверочная работа (1 ч).

Тема 5. Модуль в заданиях единого государственного экзамена (1 ч)

Решение заданий единого государственного экзамена, содержащих модуль.

М е т о д ы о б у ч е н и я: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.

Приложение.

1. Карточки-задания для самостоятельной работы.

2. Тест-задание.

3. Трансцедентные уравнения, содержащие модуль.

4. Геометрическая интерпретация уравнений вида |х – а| – |х – b| = с.

5. Задания для подготовки к тестированию по математике (урав-нения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля).

6. Карточки-задания для построения графиков функций, содержащих модули.

7. Графики квадратичных функций, содержащих модули.

8. Неравенства с двумя переменными, содержащими модуль, на координатной плоскости.


^ Учебно-тематический план




Наименование

тем курса

Всего часов

В том числе

Форма контроля

лекция

практика

семинар

1

Модуль: общие сведения.

1

0,5

0,5










Преобразование выражений, содержащих модуль
















2

Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль



3



1



1



1



С. р.

3

Графики функций, содержащих модуль


2


1


1







4

Проверочная работа

1










Пр. р.

5

Модуль в заданиях единого государственного экзамена


1








1






^ Тема 1. Модуль: общие сведения

Занятие 1

Модуль: общие сведения.
Определение, свойства, геометрический смысл модуля.
Преобразование выражений, содержащих модуль


Ц е л и: повторить и уточнить знания учащихся; рассмотреть свойства модуля; способствовать выработке навыков в упрощении выражений, содержащих модуль.

М е т о д и ч е с к и е р е к о м е н д а ц и и.

Вначале решение упражнений должно сопровождаться объяснением, опирающимся на определение модуля и его геометрический смысл. Однако в дальнейшем необходимо добиться автоматизма в решении упражнений типа |7| = 7; |–3| = 3; .

На первом же уроке нужно предложить учащимся записать в тетрадях:

1) |a| =

2) Изобразить на числовой оси точки а и –а и еще раз обсудить геометрический смысл модуля:




Х о д з а н я т и я

I. Лекция.

О п р е д е л е н и е. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется само число а, если оно неотрицательное, и число противоположное а, если а отрицательное.



Часто строчку (2) объединяют со строчкой (1) или со строчкой (3).

Чаще всего применяют запись:

|a| =

П р и м е р ы. |5| = 5; ; |–8| = 8;

, так как .

Отметим некоторые свойства модуля.

1) |–a| = |a|

2) |a·в| = |a|·|в|

Докажем это свойство, рассмотрев все случаи:

а) если а = 0, в = 0, или в ≠ 0, или а ≠ 0, но в = 0, то очевидно |a·в| = |a|·|в| = 0;

б) если а > 0 и в > 0, тогда а = |a|; в = |в| и ав > 0.

Значит, |a·в| = ав = |a|·|в|;

в) если а < 0 и в < 0, тогда –а = |a|; –в = |в| и ав > 0.

Значит, |a·в| = ав = (–а)·(–в) = |a|·|в|;

г) если а > 0 и в < 0, тогда а = |a|; –в = |в| и ав < 0.

Значит, |a·в| = –ав = а·(–в) = |a|·|в| и свойство (2) доказано.

3) , где в ≠ 0.

4) |a + в| = |a| + |в| тогда и только тогда, когда а ≥ 0 и в ≥ 0.

5) |a| + |в| = а + в тогда и только тогда, когда а ≥ 0 и в ≥ 0.

6) |a – в| = |a| + |в| тогда и только тогда, когда ав ≤ 0.

7) Для а1, а2ап справедливо

|a1 + а2 + … + ап| ≤ |a1| + |а2| + … + |ап|.

8) .

9) |a|2 = а2.

10) |a| – |в| ≥ 0 тогда и только тогда, когда а2в2 ≥ 0.


Г е о м е т р и ч е с к о е т о л к о в а н и е: каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображением данного числа.

Каждой точке числовой прямой соответствует ее расстояние от начала отсчета или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Это расстояние или длина отрезка рассматривается всегда как величина неотрицательная. Таким образом, геометрическая интерпретация модуля действительного числа а будет рассматриваться от начала отсчета до точки, изображающей число.





^ II. Решение упражнений.

1. Упростить выражение .

Р е ш е н и е.

Дробь определена для любых значений а.

При а ≥ 0 .

При а < 0 .

Возможно другое решение.

Учитывая свойство |a|2 = а2 , имеем:

= |a| – 2.

О т в е т: а – 2 при а ≥ 0,

–(а + 2) при а < 0.


2. Упростить выражение .

Р е ш е н и е.

Дробь определена при а ≠1. Нули подмодульных выражений: 0; 1. Данные точки делят числовую ось на интервалы (–∞; 0); [0; 1); [1; +∞).





Упростим дробь на каждом из интервалов:

(I) а < 0: ;

0 ≤ а < 1: .

а > 1: .

О т в е т: при а < 0;

1 – а при 0 ≤ а < 1;

а – 1 при а > 1.

III. Самостоятельное решение упражнений с комментариями.

Р е ш и т ь с а м о с т о я т е л ь н о.

1.

О т в е т: при т  (–∞; –2)  (–2; 0)  [3; +∞);

при т  (0; 3).

2. № 18 а.

^ IV. Решение примера.

Доказать, что данное выражение – целое число .

Р е ш е н и е.

= =

= .

^ V. Самостоятельное решение со взаимопроверкой по вариантам.

I в а р и а н т – № 18 (б).

II в а р и а н т – № 18 (в).

Домашнее задание. № 6, 8, 9. 19 (а–в).

Примечание: * Здесь и далее: см. Дидактический материал для учащихся.


Занятие 2

Решение уравнений, содержащих модуль

Цели: закрепить изученный материал; познакомить учащихся с решением некоторых типов уравнений, содержащих модуль; упражнять в решении уравнений.

Ход занятия

^ I. Фронтальный опрос.

1. Дайте определение модуля числа.

2. Дайте геометрическое истолкование модуля.

3. Может ли быть отрицательным значение суммы 2 + |x| ?

4. Может ли равняться нулю значение разности 2|x| – |x| ?

5. Как сравниваются два отрицательных числа?

^ II. Устная работа (полезные упражнения).

Раскрыть модуль:

1) |π – 3|; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) при а ≥ 3

4) ; 9) при в < 4;

5) ; 10) при т < 1.

III. Проверка домашнего задания.

^ IV. Объяснение нового материала. Лекция.

Рассмотрим примеры решения уравнений, содержащих абсолютные величины.

1. Уравнения вида , где а ≥ 0. По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений: f(x) = a и f(x) = –a.

Записывается это так:

f(x) = a

f(x) = –a


Пример 1. .

По определению модуля имеем совокупность уравнений

х – 8 = 5,

х – 8 = –5. Откуда х = 13, х = 3.

О т в е т: 3; 13.


Некоторые уравнения и неравенства с модулем решаются проще с помощью геометрических соображений.

|aв| – это расстояние между а и в.

Решим предыдущее уравнение .




О т в е т: 3; 13.

Пример 2.

Рассмотрим уравнение .

Решить самостоятельно.





О т в е т: –0,5; 3,5.

Решение на основе геометрической интерпритации. (Рассматривать вместе с учителем.)



На расстоянии 4 от точки 3 лежат две точки –1 и 7, а 2х есть одна из них.

Следовательно,

2х = –1, или 2х = 7,

х = –0,5. х = 3,5.

О т в е т: –0,5; 3,5.

2. Уравнение вида f(|x|) = a. По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух систем:



Пример 3.

Решите уравнение х2 – |х| – 6 = 0. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

1) 2)

Решим первую систему уравнений:

х = 3.

Решим вторую систему уравнений:

х = –3.

О т в е т: –3; 3.

М е т о д и ч е с к и е р е к о м е н д а ц и и.

Если учащиеся знакомы с понятием четной и нечетной функции, можно предложить следующее решение.

Функция у = х2 – |x| – 6 четна, поэтому решим уравнение

х2 – |x| – 6 = 0 при х  0.

Тогда |x| = х и уравнение примет вид х2x – 6 = 0, х = –2; х = 3, однако условию х  0 удовлетворяет лишь х = 3. Согласно определению четной функции имеем еще один корень х = –3.

О т в е т: –3; 3.

З а д а н и е. Решить самостоятельно:

х2 + 3|x| = 10.

О т в е т: –2; 2.


3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:



Пример 4.

Решить уравнение |3х –10| = х – 2.

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:



О т в е т: 3; 4.

Пример 5.

Решить уравнение |2х – 3| = 3 – 2х.

Р е ш е н и е.

|2х – 3| = –(2х – 3).

Воспользуемся следующим фактом: |f(x)| = –f(x), если f(x)  0. Тогда данное уравнение равносильно неравенству

2х – 3  0, .

О т в е т: (–∞;].


З а д а н и е. Решить самостоятельно:

|4 – 5х| = 5х – 4.


4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|.

Данное уравнение равносильно совокупности



Пример 6.

Решить уравнение |x –2| = |3 – х|.

Р е ш е н и е.

Данное уравнение равносильно двум уравнениям:

х – 2 = 3 – х (1) и х – 2 = –3 + х (2)

2х = 5 –2 = –3 – неверно

х = 2,5 уравнение не имеет решений.

О т в е т: 2,5.


М е т о д и ч е с к и е р е к о м е н д а ц и и.

Можно решить данное уравнение, учитывая следующее свойство:

|a| = |в|  а2в2 = 0.

|x –2| = |3 – х|  (x –2)2 – (3 – х)2 = 0,

(х – 2 – 3 + х) (х – 2 + 3 – х) = 0,

(2х – 5) = 0,

х = 2,5.

О т в е т: 2,5.

Но проще других решение на числовой прямой, учитывая, что расстояния равны.



З а к р е п л е н и е.

З а д а н и е. решить самостоятельно:

|4x – 1| = |2х + 3|.

5. Решение уравнений вида |f1(x)| + |f2(x)| + … + |fп(x)| = g(x).

Р е ш е н и е.

Для каждой из этих функций находят область определения, ее нули и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения функции fi(x) (i = 1, 2 … п) на промежутки, в каждом из которых каждая их функций fi(x) сохраняет постоянный знак. Далее, используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, подлежащее решению.

М е т о д и ч е с к и е р е к о м е н д а ц и и.

Можно предложить учащимся записать следующий алгоритм.

Пусть дано уравнение F(x) = 0, такое, что его левая часть содержит модули некоторых функций |f1(x)|, |f2(x)|, … |fп(x)|.

1. Решают каждое из уравнений f1(x) = 0, f2(x) =0, … fп(x) = 0.

2. Вся координатная ось разбивается на некоторое число промежутков.

3. На каждом таком промежутке уравнение заменяется на другое уравнение, не содержащее знаков модуля и равносильное исходному уравнению на этом промежутке.

4. На каждом промежутке отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается.

5. Отбираются те корни, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке.

6. Все корни уравнения F(x) = 0 получают, объединяя все корни, найденные на всех промежутках.


Пример 7.

2|x – 2| – 3|х + 4| = 1

Р е ш е н и е.

Для освобождения от знаков модуля разобьем числовую прямую на три промежутка.





Решение данного уравнения сводится к решению трех систем:

1. х = –15.

2. х = –1,8.

3. .

О т в е т: –15; –1,8.

V. Закрепление.

З а д а н и е. Решить самостоятельно (двумя способами):

|x2x| + |x – 2| = x2 – 2.

О т в е т: [2; ∞).

Домашнее задание. Проработать теоретический материал, решить № 20 (а; б), 21 (а; б), 23 (12), 24 (г), 26 (б).


Занятие 3

Решение неравенств, содержащих модуль

Цели: познакомить учащихся с решением некоторых типов неравенств, содержащих модуль; закрепить изученный материал в ходе решения упражнений.

Ход занятия

^ I. Проверка домашнего задания.

II. Тест-задание (Приложение 2).

М е т о д и ч е с к и е р е к о м е н д а ц и и.

Опираясь на повторенный материал, рассмотреть решение неравенства |х| ≤ а, где а > 0.





б) |х| ≥ а, где а > 0. Этому неравенству удовлетворяют точки двух лучей ха и х ≤ –а.





В тетрадях учащиеся оформляют запись, являющуюся справочным материалом по этой теме.



Последовательно продолжать отработку рассмотренного материала, лишь при полном усвоении перейти к решению более сложных упражнений, оставляя отработку более простых уравнений и неравенств для устного решения.

III. Объяснение нового материала.

^ 1. Решение неравенств вида |f(x)| ≤ a и |f(x)| ≤ |g(x)|.

Напомним, что если а > в, а > 0, в > 0, то а2 > в2 верно и обратное утверждение, если а2 > в2 , а > 0, в > 0, то а > в.

Из этих свойств следует, что неравенства

|f(x)| ≤ a (а ≥ 0; при а < 0 решений нет)

|f(x)| ≤ |g(x)| – можно заменить равносильными им неравенствами f 2(x) – а2 ≤ 0 и f 2(x) – g2(x) ≤ 0.

Аналогичные рассуждения верны и для неравенств

|f(x)| ≥ a , где а ≥ 0, и |f(x)| ≥ |g(x)|.

Заметим, что неравенство |f(x)| ≥ a , где а < 0, выполняется при любом х их области определения функции f.

Н а п р и м е р 1.

|х2 – 5х| ≤ 6.

Данное неравенство равносильно неравенству

(х2 – 5х – 6)(х2 – 5х + 6) ≤ 0.

Решаем методом интервалов.

О т в е т: –1 ≤ х ≤ 2; 3 ≤ х ≤ 6.


З а д а н и е. решить самостоятельно: |х2 + х –3| ≤ |2х2 + х –2|.

О т в е т: (–∞; –1] ; ∞).

^ 2. Решение неравенства вида |f(x)| ≤ g(x) и |f(x)| ≥ g(x).

I с п о с о б II с п о с о б

Неравенство равносильно системе неравенств |f(x)| ≤ g(x) 

и или

Аналогичные рассуждения верны и для неравенства |f(x)| ≥ g(x).

Неравенство |f(x)| ≥ g(x) выполняется для всех х из области определения функции f, при которых g(x) < 0.

Если же g(x) ≥ 0, то f(x) ≥ g(x)  f 2(x) – g2(x) ≥ 0.

Итак, при решении неравенства |f(x)| ≥ g(x) необходимо рассматривать два условия.

Пример 2.

|х2х|  х + 2 

Решением неравенства (1) является .

Решением исходного неравенства является промежуток

.

О т в е т: .

З а д а н и е. Решить самостоятельно:

|5х – 6|  х + 1.

или

О т в е т: .

Если под знаком модуля стоит более сложная функция, чем квадратный трехчлен, и так называемое «раскрытие» модуля сопряжено с техническими трудностями, тогда удобно пользоваться равносильными неравенствами.

Пусть на некотором множестве ^ Х определены функции f(x) и g(x). Тогда на этом множестве справедливы следующие соотношения.

(1) |f(x)| < g(x)   – g(x) < f(x) < g(x).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если g(x)  0, то исходное неравенство не имеет решений, т. к. для любой функции в любой точке х из Х выполнено |f(x)|  0. Если g(x)  0, то раскрытие модуля в любой точке х, в которой верно исходное неравенство, как раз и приводит к системе неравенств. И наоборот, если g(x)  0, то система не имеет решений, т. к. функция f(x) в точке х из Х не может быть одновременно меньше неотрицательного числа g(x) и больше неположительного числа –g(x). Если g(x)  0, то система неравенств в любой точке, где она имеет решения, может быть записана одним неравенством.

(2) |f(x)|  g(x)  .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если g(x)  0, то исходное неравенство верно при всех х из Х, т. к. модуль всегда больше любого отрицательного числа. Если g(x)  0, то раскрытие модуля в любой точке и дает совокупность неравенств. И наоборот, если g(x)  0, то совокупность верна при всех х из Х, т. к. в любой точке х из Х число f(x) всегда либо больше некоторого отрицательного числа g(x), либо меньше положительного –g(x).

(3) |f(x)|  |g(x)|  f 2(x)  g2(x)  (f(x) – g(x)) (f(x) + g(x))  0

Пример 6.

Решить неравенство |х2 – 2х|  х – 1

Р е ш е н и е.

|х2 – 2х|  х – 1 

(1) решением первого является отрезок

х

(2) решением второго – объединение двух лучей

х.

Находим пересечение множеств.

О т в е т:

З а д а н и е. Самостоятельно решить неравенство 2|х2 – 1|  х + 1.

Р е ш е н и е.

2|х2 – 1|  х + 1 

(1) х  (–∞; –1)  .

(2) х.

Объединяя полученные множества решений неравенств, находим решение совокупности.

О т в е т: х  (–∞; –1)  .

^ 3. Решение неравенств, содержащих несколько модулей.

f1(x) + f2(x) + … fп(x)  а ( ;  ; )

и f1(x) + f2(x) + … fп(x)  g(x) ( ;  ; )

Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под знаком модуля, на каждом из промежутков сохраняли знак, т. е. были либо положительными, либо отрицательными. Тогда на каждом из таких промежутков неравенство можно записать без знака модуля. Данный метод называется методом интервалов.

З а д а н и е. Решить неравенство |х – 4| + |х + 1|  7.

Р е ш е н и е.

Нули подмодульных выражений делят числовую ось на три промежутка х  –1; –1  х  4; х  4.



получаем совокупность трех систем неравенств



х  (–2; –1)  –1; 4)  4; 5)  х  (–2; 5).

О т в е т: (–2; 5).


З а д а н и е. Самостоятельно решить неравенство |х – 1| + |х – 2| > х + 3.

Р е ш е н и е.

Перепишем неравенство в виде:

|х – 1|  х + 3– |х – 2| 





О т в е т: х  (–∞; 0)  (6; +∞).

^ IV. Решение неравенств.

1. Р е ш и т е н е р а в е н с т в о

Р е ш е н и е.

Рассмотрим функцию f(x) =

Найдем нули функции:

|х2 – 3| = 1, откуда х1 = 2; х2 = –2; х3 = ; х4 = –.

Далее находим точки разрыва:

|2х2х| – 1  0, х , х  1.

Нанесем на числовую прямую точки разрыва и нули функции, которые разобьют ее на семь промежутков, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак.




О т в е т: (–1; –2  –;   (1;   (2; +∞).


2. Р е ш и т е с а м о с т о я т е л ь н о .

О т в е т: (–∞; 1].


^ Домашнее задание. № 34 (а; г); 36 (б; в); 38 (3); 40 (4); 41 (2).


Занятие 4

Решение уравнений и неравенств,
содержащих модуль


Семинар

Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль в модуле. Решение систем уравнений и неравенств, содержащих модуль. Самостоятельная работа (15 мин).

Цели: продолжить решение задач по изучаемой теме; рассмотреть решение более сложных упражнений; проверить усвоение учащимися изученного материала.

Ход занятия

^ I. Проверка домашнего задания.

II. Решение упражнений.

Пример 1.

Решить уравнение ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

Решение.

По определению абсолютной величины, имеем:



Решим первое уравнение.

(1) ||| x |–2| –1| = 4 



|x| – 2 = 5; |x| = 7; х = 7.

Решим второе уравнение.

(2) |||x| –2| –1| = 0. Тогда ||x| –2| = 1. Откуда |x| –2 = 1 или |x| = 3 и |x| = 1, откуда х = 3; х = 1.

О т в е т: 1; 3; 7.

Пример 2.

Решить неравенство ||x3 + x – 3| – 5|  x3x + 8.

Воспользуемся соотношением (1):

||x3 + x – 3| – 5|  x3x + 8 

 – x3 + x – 8  |x3 + x – 3| – 5  x3x + 8 

 – x3 + x – 3 |x3 + x – 3|  x3x + 13 





x . 

О т в е т: .

Метод введения новой переменной.

Пример 3.

Решить уравнение:

1) |2 – |x + 1| = 3.

Р е ш е н и е.

Пусть |x + 1| = y, тогда |2 – y| = 3 



Вернемся к замене:

(1) |x + 1| = –1 – нет решений.

(2) |x + 1| = 5 

О т в е т: –6; 4.


З а д а н и е. Решить самостоятельно:

(х2 – 5х + 6)2 – 5|х2 – 5х + 6| + 6 = 0.

О т в е т: 1; 4; .

Решение систем, содержащих модуль.

Пример 4.

Решить систему

Р е ш е н и е.

1. Аналитическое решение.

Сложив уравнения, получим

2|х – 1| = 4, |х – 1| = 2  х = 3, х = –1.

При х = 3, имеем 2 + |у – 2| = 3  у = 1, у = 3.

При х = –1, имеем 2 + |у – 2| = 3  у = 1, у = 3.

О т в е т: (3; 1); (3; 3); (–1; 1); (–1; 3).


Можно дать графическое решение.





О т в е т: (3; 1); (3; 3); (–1; 1); (–1; 3).


Пример 5.

Решить систему неравенств:



Р е ш е н и е.

(1) |х2 + 5х|  6 

 –6 < x <1.


(2) |х + 1|  2. Имеем

–2  х + 1  2;

–3  х  1.

Находим решение заданной системы:

 –3  х  1

О т в е т: –3; 1.

^ II. Проверка усвоенного материала.

Самостоятельная работа по индивидуальным карточкам (Приложение 1).

Домашнее задание. № 28 (в; д), 44, 33 (б).


  1   2   3   4




Похожие:

Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по проведению межевания объектов землеустройства (в ред письма Росземкадастра от 18. 04. 2003) Общие положения
Настоящие Методические рекомендации по проведению межевания объектов землеустройства (далее Методические рекомендации) разработаны...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по выполнению контрольной работЫ №3 по курсу
Общие методические указания по изучению курса математики и правила выполнения контрольных работ
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации для студентов практического занятия по теме: «Общие основы массажа. Техника приемов поглаживания и растирания.»
Дидактическая база занятия: методические рекомендации для преподавателя и студентов к практическому и семинарскому занятию, учебники,...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации учителя логопеда родителям детей с речевыми недостатками общие методические рекомендации: Покажите ребёнка врачам-специалистам
Родителей, недооценивающих серьёзность положения, следует убедить в важности логопедической работы, показав например, тетради с выраженной...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по проведению межевания объектов землеустройства (далее Методические рекомендации) разработаны в соответствии с Положением
Настоящие Методические рекомендации по проведению межевания объектов землеустройства (далее Методические рекомендации) разработаны...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации изготовление театральной
...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации-комментарии
Методические рекомендации-комментарии – приложение к Программе деятельности Союза детских организаций Тамбовской области на 2012-2013...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по организации работы методических комиссий Методические рекомендации по организации работы методических комиссий в гбоу спо «Дзержинский индустриально-коммерческий техникум»
Одним из основных звеньев средних профессиональных учебных заведений, которое организует и осуществляет методическую работу по обучению...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по теме : "Раннее выявление детей и молодежи, злоупотребляющих психоактивными веществами (пав)"
Методические рекомендации предназначены для педагогов, школьных психологов, социальных работников, медицинских работников лечебно-профилактических...
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по написанию части С, по выполнению задания А27, включённого в кимы 2009 года, и общие советы по совершенствованию методики обучения русскому языку
Курошина Л. Н. Рекомендации по подготовке к егэ по русскому языку / Л. Н. Курошина – Ульяновск: уипкпро, 2009. – 45 с. – экз
Общие методические рекомендации iconМетодические рекомендации по обучению школьников Правилам дорожного движения / под общ ред. А. В. Рубина. Красноярск, Сибюи мвд россии, 2006. 192 с
...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов