Лекции по дисциплине «Математический анализ» Москва 2007 icon

Лекции по дисциплине «Математический анализ» Москва 2007



НазваниеЛекции по дисциплине «Математический анализ» Москва 2007
Дата конвертации04.12.2012
Размер77.17 Kb.
ТипЛекции

Федеральное агентство по образованию

Российская экономическая академия имени Г.В.Плеханова


Кафедра высшей математики


Лекции по дисциплине «Математический анализ»


Москва 2007


Составители: канд. экон. наук Н.Н. Кривенцова

Т.В. Коростышевская

канд. физ. матем. наук Р.К. Гринцявичус


Лекции по дисциплине Математический анализ» / Н.Н.Кривенцова, Т.В.Коростышевская, Р.К.Гринцявичус. -М.: Изд-во Рос. экон. акад., 2007


Предлагается краткая теория по всем разделам учебной дисциплины «Математический анализ».


Для студентов ОЭФ и факультета МЭО .


§1.Определение предела последовательности

Определение. Перенумерованное множество чисел называется последовательностью.

Последовательность можно задать так называемой формулой -го члена Здесь подразумевается, что

Определение. Последовательность стремится к b при , если для любого существует такое , что для всех справедливо неравенство Коротко это можно записать так: , если

Значок читается «для любого». Значок читается «существует». Значок : читается «такое, что при».


Пример 1.1. Доказать

Доказательство. Способ 1. Для заданного возьмем .
Тогда из неравенства следует . Отсюда Ч.т.д.

Способ 2. В предыдущем способе не понятно, как мы догадались, что в качестве нужно взять . Это следует из цепочки формул: =.

Способ 3. Нестрогое, но наглядное доказательство следует из таблицы:



1

10

1000

1000000

100000000000



2

1,1

1,001

1,000001

1,00000000001


§2. Определение предела функции


Определение. Пусть имеем два множества А и B. Предположим, что каждой точке сопоставлена точка . В этом случае говорят, что задана функция у от х.

Такую функцию обозначают или и так далее.

Примеры: .

Функции можно задать аналитически, графически, таблично.

Частным случаем функции является последовательность

Определение. Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а,(обозначается ) если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех х, не совпадающих с а и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Коротко это определение можно записать так: , если .

Замечание. В определении предела мы неявно предполагаем существование такого , что функция определена при любом .

Пример 2.1. Докажем

Действительно: Рассмотрим цепочку формул: . Теперь ясно, что для заданного положительного нужно взять , ибо из неравенства последует . Ч.т.д.

§3.Функция, стремящаяся к бесконечности

Определение. Функция стремится к бесконечности при х, стремящегося к а, если

.

Пример 3.1. Докажем

Для этого необходимо доказать Убедимся в следующей цепочке формул: . Поэтому для заданного возьмем . Тогда из неравенства последует . Ч.т.д.

Не строгое, но достаточно наглядное доказательство формулы следует из таблицы



1

0,1

0.001

0.00001



1

10

1000

100000

Замечание. Нужно уметь различать три вида бесконечностей:

. (Постройте графики данных функций). Здесь знак означает, что х стремится к 0, оставаясь все время больше нуля. Аналогично, означает, что х стремится к 2, оставаясь все время больше двух.

Например, означает, что В этом можно убедиться из графика функции


§4.Свойства функции, стремящейся к бесконечности

Теорема. 1. 2.

Докажем или, что одно и то же,

По определению если

Для заданного возьмем . Тогда из неравенства следует Ч.т.д.

Не строгое, но достаточно наглядное доказательство формулы следует из таблицы:



1

-10

1000

-100000



1

0,01

0.000001

0,0000000001


Очевидно, что Это значит, что отношение зависит от .

Определение. Отношение называется неопределенностью. Выражения , , , , также являются неопределенностями.


§5.Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение. Величина называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Определение. Величина называется бесконечно большой, если ее предел равен бесконечности.


§6.Свойства бесконечно малых величин

Теорема.

1.Предел равен тогда и только тогда, когда где - бесконечно малая величина.

2.Если является бесконечно малой величиной, то является бесконечно большой.

3.Если ограничена (т.е. и - бесконечно малая, то бесконечно малая.

4.Если и бесконечно малые, то , являются бесконечно малыми.

5.Если ( - константа) и - бесконечно малая, то - бесконечно малая величина.


§7.Основные теоремы о пределах

Теоремы.

1. где

2.Пусть , тогда

3.Если , то .

4.(Теорема о двух милиционерах.)Если и , то

5.Если , то .

Замечание. Желательно знать формулировки этих теорем. Например, предел суммы равен сумме пределов.


Определение. Последовательность называется монотонно возрастающей, если справедливо . Последовательность называется монотонно убывающей, если справедливо . Последовательность ограничена, если

6.Любая ограниченная монотонная последовательность имеет предел.


§8.Первый замечательный предел

Теорема.

, или, что одно и то же,


§9.Второй замечательный предел

Теорема. ,

§10.Определение непрерывности функции в точке

Определение. Интервал , где ) называется окрестностью точки .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если

Замечание. Неявно мы требуем, чтобы непрерывная в точке функция была бы определена в некоторой окрестности точки


§11.Определение непрерывности функции на множестве

Определение. Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.


§12.Непрерывность справа (слева)

Определение. Функция называется непрерывной в точке справа, если

Аналогично определяется непрерывность слева.


§13. Устранимый разрыв

Определение. Функция называется разрывной в точке , если она не является непрерывной в этой точке.

Определение. Функция имеет устранимый разрыв в точке , если

Теорема. Если функция имеет устранимый разрыв в точке , то, изменив , мы получим новую функцию , непрерывную в точке .


§14.Разрыв первого рода

Определение. Функция имеет разрыв первого рода в точке , если в точке существуют конечные пределы слева и справа и


§15.Разрыв второго рода

Определение. Если разрыв не является устранимым разрывом и не является разрывом первого рода, то он называется разрывом второго рода.


§16.Эквивалентные бесконечно малые величины

Определение. Бесконечно малые величины и называются эквивалентными, если

Если и - эквивалентные бесконечно малые величины, то обозначают

Теорема. Если и , то

Теорема. при




Похожие:

Лекции по дисциплине «Математический анализ» Москва 2007 iconДокументи
1. /Лекции по дисциплине Управленческие решения для лоботрясов гр. ГМУ-1-25, МТ-1-25 и др/Лекции...
Лекции по дисциплине «Математический анализ» Москва 2007 iconЛекции по истории и культуре чувашского края% Учеб? Пособие? Сост? Г? Д? Петрова и др? Москва% гоу впо «мгу ту»: 2007? 368 с?
Андреев И? А?: Гурьева Р? И? Чёваш ч лхи% Вырёс шкул н 9-м ш клас валли? Шупашкар% Чёваш к неке изд-ви: 2000? 304с?
Лекции по дисциплине «Математический анализ» Москва 2007 iconМетодические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Экономический анализ» для студентов специальностей «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Налоги и налогообложение»
Прокофьева, Н. Н. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Экономический анализ» / Н. Н. Прокофьева, О....
Лекции по дисциплине «Математический анализ» Москва 2007 iconЛабораторная работа №2 по дисциплине дискретный анализ Тема: «Линейный регрессионный анализ»
Предполагая, что валовый выпуск зависит линейно от фондовооруженности и производительности труда построить линеную регрессионную...
Лекции по дисциплине «Математический анализ» Москва 2007 iconМатематический анализ Задание 1

Лекции по дисциплине «Математический анализ» Москва 2007 iconЛекции по дисциплине «Менеджмент» Раздел Цели и задачи управления организациями различных организационно-правовых форм
Коробова Е. В. Лекции по дисциплине «Менеджмент» Раздел Цели и задачи управления организациями различных организационно-правовых...
Лекции по дисциплине «Математический анализ» Москва 2007 iconАнализ занятия по предмету, дисциплине
Анализ занятия по предмету, дисциплине урок класс
Лекции по дисциплине «Математический анализ» Москва 2007 iconВопросы по дисциплине "анализ финансовой отчетности"
Анализ зависимости финансовой устойчивости от эффективности привлечения заемного капитала
Лекции по дисциплине «Математический анализ» Москва 2007 iconОбщим собранием трудового коллектива Начальник Управления образования
Ухтинка в соответствие с требованиями Закона Российской Федерации «Об образовании» в редакции Федеральных законов 09. 02. 2007 №17-фз;...
Лекции по дисциплине «Математический анализ» Москва 2007 iconВиктор Голков
Виктор Голков. Сошествие в Ханаан. Избранные стихотворения 1970—2007. — Иерусалим — Москва: Издательское содружество А. Богатых и...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов