Контрольная работа №3 Введение в математический анализ Литература: [2] гл. I §1-8; гл. 2 §1-5; [3] гл. II, III; [5] 1- 6; [12] ч. I. Основные теоретические сведения icon

Контрольная работа №3 Введение в математический анализ Литература: [2] гл. I §1-8; гл. 2 §1-5; [3] гл. II, III; [5] 1- 6; [12] ч. I. Основные теоретические сведения



НазваниеКонтрольная работа №3 Введение в математический анализ Литература: [2] гл. I §1-8; гл. 2 §1-5; [3] гл. II, III; [5] 1- 6; [12] ч. I. Основные теоретические сведения
Дата конвертации26.12.2012
Размер74.75 Kb.
ТипКонтрольная работа

Контрольная работа №3


Введение в математический анализ

Литература: [2] гл.I §1-8; гл. 2 §1-5; [3] гл.II, III;

[5] §2.1- 2.6; [12] ч.I.


Основные теоретические сведения


1. Первое задание контрольной работы заключается в построении графика функции путем преобразования исходного графика .

2. Полярные и прямоугольные декартовы координаты связаны соотношениями



Если известно уравнение линии в полярных координатах , то, подставляя и в уравнение данной линии, получим уравнение линии в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

3. Для выполнения задания №3 необходимо знание следующих определений и правил:

а) определение конечного предела функции в точке: число А называется пределом функции при , если для любого найдется такое , что при ; записывается: ;

б) функция называется бесконечно малой (бесконечно большой) при , если

;

в) две функции и , бесконечно малые при gif" name="object22" align=absmiddle width=41 height=18>, называются эквивалентными, если ; записывается: ~ при ;

г) справедливы следующие основные правила вычисления пределов. Пусть - постоянная, и имеют пределы при . Тогда

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

;

где при ;

д) вычисление пределов может привести к неопределенностям вида . Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:

  1. сокращение на множитель, создающий неопределенность;

  2. деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента

(для отношения многочленов при );

  1. применение эквивалентных бесконечно малых функций;

  2. использование замечательных пределов

.


4. Функция называется непрерывной в точке , если функция определена в этой точке и ее окрестности и . Функция называется непрерывной в точке справа (слева), если существует правый (левый) предел функции, равный значению функции в этой точке. Обозначается

(правый предел),

(левый предел).

Если функция непрерывна в точке а слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Точка является точкой разрыва функции , если в этой точке функция не является непрерывной, т.е. функция в ней либо неопределена: , либо предел функции не равен значению функции в этой точке:

Точка называется точкой устранимого разрыва, если




Точка называется точкой разрыва первого рода, если правый и левый пределы функции в этой точке конечны, но не равны друг другу:



Точка называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из пределов (правый или левый) не существует или равен .


Для выполнения первого задания контрольной работы следует знать, что если известен график функции , то график функции строится с помощью следующих преобразований графика .

1. График получается сжатием графика в b раз к оси Оу при b>1 или растяжением в раз от этой оси при .


2. График получается параллельным переносом графика в положительном направлении оси Ох при на с и в отрицательном направлении этой оси при .


3. График функции получается растяжением графика вдоль оси Оу в А раз при или сжатием вдоль этой оси в раз при .


Пример 1. Дана линия своим уравнением в полярной системе координат .

Требуется:

1) построить линию по точкам; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; по полученному уравнению определить, какая это линия.

Решение.

1. Составим таблицу




0

















r

1

≈1,1

≈1,2

≈2

3

≈6



<0

<0
























<0

<0

<0



≈6

3

≈2

≈1,2

≈1,1

1


Из таблицы видно, что при ; при точек линии нет, так как не может быть . Для вычерчивания линии проведем радиусы-векторы, соответствующие углам φ, взятым с интервалом . На каждом из этих радиусов-векторов откладываем отрезки, равные значению r при соответствующем значении из таблицы . Соединяя точки, являющиеся концами этих отрезков, получаем график данной линии:


2. Подставляя и в уравнение заданной линии, получим

.

Полученное уравнение есть уравнение ветви гиперболы с полуосями с центром в точке .


Пример 2. Найти .


Решение. Подставляя вместо х его предельное значение, равное 3, получаем в числителе бесконечно большую, а в знаменателе бесконечно малую функцию: . Поэтому .


Пример 3. Найти .

Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности . Разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на . Получим

,

так как при и - бесконечно малые функции.


Пример 4. Найти .

Решение. Непосредственная подстановка аргумента приводит к неопределенности . Так как является корнем многочленов в числителе и знаменателе, то, разложив на множители, сократим дробь на , получим

.


Пример 5. Найти .


Решение. Пределы числителя и знаменателя при равны 0, т.е. имеем неопределенность . Избавимся от иррациональности в числителе, домножив числитель и знаменатель на , получим







Пример 6. Найти .

Решение. Заменяя , получим



. Здесь использован первый замечательный предел .


Пример 7. Найти .

Решение. Подстановка приводит к неопределенности . Сделаем замену переменной , . Тогда

.

Здесь использован второй замечательный предел .


Пример 8. Задана функция и значения аргумента Исследовать данную функцию на непрерывность в точках и . В случае разрыва функции найти левый и правый пределы функции в данной точке, сделать схематический чертеж.

Решение. Функция в точке непрерывна, так как в этой точке непрерывна функция , , а также . Точка есть точка разрыва этой функции, так как в этой точке не определена.

.

Значит, точка разрыва первого рода.

Чтобы сделать схематический чертеж, найдем

.

Изобразим схематично график функции.


Пример 9. Задана функция

Найти точки разрыва, если они существуют. Сделать чертеж.


Решение. Функция непрерывна на , функция непрерывна на , а непрерывна на , значит непрерывна на интервалах . Остается исследовать точки и . Находим правые и левые пределы функции в этих точках.





т.е. является точкой разрыва 1-го рода, так как

, но существуют.





Так как , то в точке непрерывна.

Сделаем ее чертеж




Похожие:

Контрольная работа №3 Введение в математический анализ Литература: [2] гл. I §1-8; гл. 2 §1-5; [3] гл. II, III; [5] 1- 6; [12] ч. I. Основные теоретические сведения iconКонтрольная работа по теме «Правление Александра III ii вариант Определите годы жизни Александра III: Почему Россию при Александре III называют «полицейским государством»
Почему Александр III проводил политику контрреформ, а не как его отец, политику либеральных реформ
Контрольная работа №3 Введение в математический анализ Литература: [2] гл. I §1-8; гл. 2 §1-5; [3] гл. II, III; [5] 1- 6; [12] ч. I. Основные теоретические сведения iconДокументи
1. /Контрольная работа/6 класс Контрольная работа.docx
2. /Контрольная...

Контрольная работа №3 Введение в математический анализ Литература: [2] гл. I §1-8; гл. 2 §1-5; [3] гл. II, III; [5] 1- 6; [12] ч. I. Основные теоретические сведения iconIii класс Работа 1 Математический диктант
Для вычисления значения выражения 24 + 8 • (12 7) действия выполняются в следующем порядке
Контрольная работа №3 Введение в математический анализ Литература: [2] гл. I §1-8; гл. 2 §1-5; [3] гл. II, III; [5] 1- 6; [12] ч. I. Основные теоретические сведения iconКонтрольная работа по математике за 1 семестр Вариант 1 «введение в анализ и дифференциальное исчесление функции одного переменного»
Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции
Контрольная работа №3 Введение в математический анализ Литература: [2] гл. I §1-8; гл. 2 §1-5; [3] гл. II, III; [5] 1- 6; [12] ч. I. Основные теоретические сведения iconТема введение в математический анализ
Задача Определить то значение параметра А, для которого функция будет непрерывной (если возможно). Сделать чертеж
Контрольная работа №3 Введение в математический анализ Литература: [2] гл. I §1-8; гл. 2 §1-5; [3] гл. II, III; [5] 1- 6; [12] ч. I. Основные теоретические сведения iconЛекции по дисциплине «Математический анализ» Москва 2007
Лекции по дисциплине Математический анализ / Н. Н. Кривенцова, Т. В. Коростышевская, Р. К. Гринцявичус. М.: Изд-во Рос экон акад.,...
Контрольная работа №3 Введение в математический анализ Литература: [2] гл. I §1-8; гл. 2 §1-5; [3] гл. II, III; [5] 1- 6; [12] ч. I. Основные теоретические сведения iconСодержание Введение Глава Теоретические основы анализа использования прибыли Предприятия
Анализ использования прибыли на примере ОАО «Астраханьэнерго»
Контрольная работа №3 Введение в математический анализ Литература: [2] гл. I §1-8; гл. 2 §1-5; [3] гл. II, III; [5] 1- 6; [12] ч. I. Основные теоретические сведения iconСодержание введение 3 глава теоретические аспекты маркетинговой деятельности на предприятии 5
Анализ деятельности службы маркетинга на предприятии, разработка маркетинговых программ 19
Контрольная работа №3 Введение в математический анализ Литература: [2] гл. I §1-8; гл. 2 §1-5; [3] гл. II, III; [5] 1- 6; [12] ч. I. Основные теоретические сведения iconРасписание по образцу: Фамилия, имя, класс. Контрольная работа «Моё расписание уроков» Понедельник: Литература, Физика, Математика, обж, Музыка
Наберите свою фамилию, имя, класс. Перейдите на следующую строчку наберите заголовок: Контрольная работа. Сделать выравнивание по...
Контрольная работа №3 Введение в математический анализ Литература: [2] гл. I §1-8; гл. 2 §1-5; [3] гл. II, III; [5] 1- 6; [12] ч. I. Основные теоретические сведения iconКонтрольная работа №1 по теме Повторение основных вопросов курса 8 класса и введение в курс 9 класса Дорогой девятиклассник!
На выполнение контрольной работы отводится 40 минут. Работа состоит из 3 частей и включает 9 заданий
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов