Решения задач по теме «четность» icon

Решения задач по теме «четность»



НазваниеРешения задач по теме «четность»
Дата конвертации14.12.2012
Размер28.96 Kb.
ТипДокументы

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ЧЕТНОСТЬ»

1. Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 2012?

Решение. На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна.

Ответ: нет.

2. На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.

Решение. Для любой точки X, лежащей вне AB, имеем AX – BX = ± AB. Если предположить, что суммы расстояний равны, то мы получим, что выражение ± AB ± AB ± … ± AB, в котором участвует 45 слагаемых, равно нулю. Но это невозможно.

^ 3. Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?

Решение. Среди этих чисел одно (2) – четное, а остальные – нечетные. Поэтому в той строке, где стоит двойка, сумма чисел нечетна, а в других – четна.

4. Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз – на 2 см и так далее. Докажите, что после 2013 прыжков он не может оказаться там, где начинал.

Указание. Сумма 1 + 2 + … + 2013 нечетна.

5. Может ли конь пройти с поля al на поле h8 шахматной доски, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?

Решение. Шахматный конь при перемещении по полю переходит с клетки одного цвета на клетку другого цвета. Так, если клетка al имеет белый цвет, то первый, третий и все нечетные ходы конь сделает на клетку черного цвета. Вернувшись на ту же самую клетку, конь сделает четное число ходов. Поля al и h8 находятся на одной из главных диагоналей доски и, следовательно, имеют одинаковый цвет. Шахматная доска имеет 64 клетки, при перемещении с поля al на поле h8 конь должен обойти все клетки, при этом будет сделано 63 хода (в одной клетке конь уже стоит!), и конь попадет на клетку, цвет которой отличен от цвета полей al и h8.

Ответ: нет.

6. Можно ли доску размером 5x5 заполнить костяшками домино 2x1?

Решение. Любое количество костяшек домино накрывает четное число клеток доски, которая имеет 25 клеток.

Ответ: нет.

7. Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?

Решение. Нужно отложить данную монету в сторону, а затем разделить остальные 100 монет на две кучки по 50 монет, и сравнить веса этих кучек. Если они отличаются на четное число грамм, то интересующая нас монета настоящая. Если же разность весов нечетна, то монета фальшивая.


8. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «–» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?

Решение. Обратим внимание на то, что отрицательные числа  также бывают четными и нечетными. Любые два целых числа при  сложении и вычитании дают сумму и разность одинаковой четности. Сложив все 10 чисел, получим нечетное число. Произвольно  меняя «плюсы» на «минусы» в итоге получим нечетное число (не нуль!).

9. На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2011, 2012, 2013. Разрешается с доски стереть два любых числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно оказаться нулем?

Решение. Сумма всех записанных на доске чисел будет нечетной. При стирании 2-х чисел могут быть получены варианты: а) стираются 2 четных (или нечетных) числа, модуль разности будет числом четным, а новая сумма будет числом нечетным; б) стираются четное и нечетное число, модуль разности будет нечетным числом, а новая сумма снова будет числом нечетным. Таким образом, в любом случае на доске останется нечетное  число (не нуль!).

10. К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна.

Указание. Разберите два случая: сумма первой и последней цифр числа меньше 10, и сумма первой и последней цифр числа не меньше 10. Если допустить, что все цифры суммы – нечетны, то в первом случае не должно быть ни одного переноса в разрядах (что, очевидно, приводит к противоречию), а во втором случае наличие переноса при движении справа налево или слева направо чередуется с отсутствием переноса, и в результате мы получим, что цифра суммы в девятом разряде обязательно четна.



Похожие:

Решения задач по теме «четность» iconРешения практического задания по теме «тригонометрические функции. Четность. Периодичность.»

Решения задач по теме «четность» iconСамостоятельная работа на уроке Цель: Проверить знания студентов по теме «Чётность и нечётность»
На экране даны функции, учащиеся устно определяют их четность и записывают номера примеров в три столбика: 1столбик четные, 2столбик...
Решения задач по теме «четность» iconДокументи
1. /Решение задач/Контрольное задание ь1/Варианты для решения задач по теме ь1.doc
Решения задач по теме «четность» iconДокументи
1. /Решение задач/Контрольное задание ь3/Варианты для решения задач по теме ь3.doc
Решения задач по теме «четность» iconДокументи
1. /Решение задач/Контрольное задание ь1/Варианты для решения задач по теме ь1.doc
Решения задач по теме «четность» iconАлгоритмизация и программирование Этапы решения задач на ЭВМ
Технология решения задач с помощью компьютера (моделирование, формализация, алгоритмизация, компьютерный эксперимент). Пример решения...
Решения задач по теме «четность» iconС. Л. Гладкий Л. Н. Ясницкий решение задач линейной термоупругости
Предложен аналитический метод решения линейных задач термоупругости. Дано краткое описание метода. Приведены частные решения плоских...
Решения задач по теме «четность» iconУрок соревнование по теме «плотность вещества»
Цель урока: закрепление у учащихся умений и навыков решения задач разных типов – расчетных, качественных
Решения задач по теме «четность» iconТема урока «Координаты вектора. Решение задач с практическим содержанием»
Оборудование: таблицы (файлы) со схемами поиска решения задачи; карточки-информаторы (подсказки различного уровня энтропии); таблицы...
Решения задач по теме «четность» iconПояснительная записка
В данном элективном курсе учащиеся обучаются методам решения задач с параметрами, начиная с самых простых линейных уравнений и неравенств...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы