Лекция №18 (07. 05. 10) Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R icon

Лекция №18 (07. 05. 10) Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R



НазваниеЛекция №18 (07. 05. 10) Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R
Дата конвертации06.11.2012
Размер39.81 Kb.
ТипЛекция



09.10.12, М.



Лекция № 18 (07.05.10)


Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R2 рассмотрим отобра­жение  поворота всех векторов на угол  вокруг начала координат против часовой стрелки.




Рисунок показывает, что наше отображение является линейным оператором:

(a + b) = (a) + (b);

(a) = (a).

Мы хотим записать матрицу A(e) в стандартном базисе e1, e2.

(e1) = cose1 + sine2;

(e2) = −sine1 + cose2.

.

§ 8. 2. Действия над линейными операторами


8.2.1. Перемена порядка суммирования в конечных суммах

Вообразим, что нам дана прямоугольная таблица (матрица) A, заполненная числами (дейст­вительными или комплексными) или векторами (более общо, лю­быми элементами, которые можно складывать c выполнением законов ассоциатив­ности и коммутативности сложения).

Мы хотим найти сумму всех элементов aij этой таблицы. Это можно сделать многими спо­собами, но два способа очевидны.


Вычислим сначала сумму всех элементов каждого столбца, а полученные суммы сложим. Мы получим искомую сумму . Но можно поступить по-другому: сначала сложить все элементы каждой строки, а затем сложить полученные суммы. Естественно, мы получим то же число (или вектор) . Запишем  двумя вышеуказанными способами:

 = = .

Мы видим, что два выражения отличаются только порядком записи знаков суммирования. ^ Вывод: в конечных суммах можно менять порядок суммирования.

Примечание. В математическом анализе рассматриваются иногда бесконечные суммы рас­сматриваемого типа (суммы рядов). Для них наше утверждение о возможности перемены порядка суммирования, вообще говоря, не­верно (верно только при определённых предположениях типа абсолютной сходимости рядов).


^ 8.2.2.
Ассоциативность умножения матриц


Теорема. Пусть даны три матрицы: матрица A размера (m, n), матрица B раз­мера (n, s) и матрица C размера (s, t). Тогда

(AB)C = A(BC)

(обе матрицы существуют и равны).

Доказательство. При сделанных предположениях обе матрицы существуют и имеют оди­наковые размеры (m, t). Вычислим произвольный элемент левой и правой матриц и сравним их:

((AB)C)ij = = = = ;

(A(BC))ij = = = = .

Мы видим, что наши два выражения отличаются только порядком записи зна­ков суммиро­вания. В силу сказанного выше они равны, QED.


^ 8.2.3. Дистрибутивность произведения матриц

Аналогично можно доказать свойства дистрибутивности умножения матриц относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC;

(A + B)C = AC + BC.


^ 8.2.4. Изображение вектора в данном базисе

Пусть дан произвольный базис u1, u2, …, un пространства Rn, и пусть дан ещё произволь­ный вектор x. Мы можем разложить этот вектор по данному базису:

x = xiui,

а набор коэффициентов (координат вектора) записать в виде матрицы-столбца (век­тор-столбца) ^ X = . Такую запись будем называть изображением данного вектора в данном базисе. Приве­дём пример, показывающий, что изображение данного век­тора, вообще говоря, отличается от обычной записи этого вектора как элемента про­странства Rn (эти записи совпадают, если базис стандартный). В нашем примере

u1 = , u2 = , u3 = ;

x = u3 u2 u1 = = X x.


^ 8.2.5. Координаты образа вектора при действии линейного оператора

Пусть в пространстве Rn действует линейный оператор φ, а его матрица в не­котором произ­вольном базисе есть A. Пусть также x − некоторый вектор, y = (x) − его образ под действием дан­ного оператора φ. Обозначим через X изображе­ние век­тора x в данном базисе, а через Y − изобра­жение вектора y. Нас интересует связь между матрицами X, Y и A. Я утверждаю, что такая связь выражается следующей формулой:

Y = AX.

В самом деле, если данный базис u1, u2, …, un, то

y = (x) = () = = = = = =.

Последняя запись есть разложение вектора y по базису uj, а так как коэффици­енты такого разложения определяются однозначно, то мы имеем:

yj = = (AX)j.

Это доказывает нашу формулу.


^ 8.2.6. Действия над линейными операторами

Пусть  и  – линейные операторы в векторном пространстве V. Суммой этих линейных операторов называется отображение  + , действующее (по определе­нию) следующим образом:

x  ( + )(x) = (x) + (x).

Проверим, что  +  – линейный оператор. Согласно нашему определению,

( + )(x + y) = (x + y) + (x + y) = (x) + (y) + (x) + (y) = ((x) + (x)) + ((y) + (y)) = = ( + )(x) + ( + )(y).


Мы воспользовались определением суммы операторов и линейностью операторов  и . Анало­гично доказывается вторая часть определения линейного оператора − произведение на скаляр (проверьте!).

Пусть  – произвольный линейный оператор,  – число из рассмат­риваемого поля K (R или C). Произведением оператора  на число  называется отображение , обозначаемое  и дейст­вующее следующим образом: (x) = ((x)). Несложно проверить, что если  – линейный опера­тор, то  – также линейный оператор. (Про­верьте!)

Произведением операторов  и  называется отображение , дейст­вующее следующим образом:

()(x) = ((x)).

Мы видим, что это не что иное, как композиция отображе­ний  и .





Похожие:

Лекция №18 (07. 05. 10) Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R iconЛекция №20 (14. 05. 10) 3 Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису
Рассмотрим линейный оператор , и пусть A и − матрицы этого оператора в первом и во втором базисах. Пусть X − произвольный вектор...
Лекция №18 (07. 05. 10) Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R iconЛекция №4 (26. 02. 10) 3 Базис и размерность линейного подпространства Определение
Определение. Пусть дано какое-то линейное подпространство L линейного пространства Rn (L ≤ Rn). Тогда система векторов a1, a2, …,...
Лекция №18 (07. 05. 10) Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R iconЛекция №2 (11. 09. 10) 10 Связь между матрицами билинейной формы в разных базисах
Пусть теперь в нашем пространстве рассматривается не один базис, а два базиса кряду: a1, a2, …, an и b1, b2, …, bn. Пусть q − матрица...
Лекция №18 (07. 05. 10) Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R iconЛекция №19 (11. 05. 10) Проверим, что композиция  является линейным оператором: ()(X
Аналогично доказывается вторая часть опре­деления линейного опе­ратора − произведение на скаляр (проверьте!)
Лекция №18 (07. 05. 10) Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R iconЛекция №8 (25. 10. 11) 2 Параметрические уравнения
Здесь мы поговорим о параметрических уравнениях вообще. Рассмотрим уравне­ния следующего вида
Лекция №18 (07. 05. 10) Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R iconI (измеряется в битах/символах)
Пример Предположим, что в барабане имеется четыре шара: два красных, один желтый и один зеленый. Какова вероятность того, что из...
Лекция №18 (07. 05. 10) Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R iconЛекция №1 (06. 09. 11) Глава Векторная алгебра
Определение Направленным отрезком называется упорядоченная пара точек (на плоскости или в трёхмерном пространстве)
Лекция №18 (07. 05. 10) Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R icon2 (247) 1 – 10 мая 2009 года
Остальное будет нас волновать теперь только осенью! Ну а до нее еще долгий путь. Путь длинной в один чемпионат области, один чемпионат...
Лекция №18 (07. 05. 10) Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R iconЛекция лексика. Фразеология Типология заданий. Основные лексические категории и единицы. Лексико-фразеологические упражнения и тестовые задания
Рассмотрим типичные формулировки заданий по лексике и фразеологии в кимах егэ по русскому языку
Лекция №18 (07. 05. 10) Рассмотрим ещё один пример линейного оператора: в пространстве R iconЛекция №10 (08. 11. 11) 2 Параболический случай
Сейчас мы рассмотрим случай, когда из двух чисел A1 и C1 одно равно нулю, дру­гое нет. Этот случай называется параболическим. Предположим...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов