Лекция №10 (08. 11. 11) 2 Параболический случай icon

Лекция №10 (08. 11. 11) 2 Параболический случай



НазваниеЛекция №10 (08. 11. 11) 2 Параболический случай
Дата конвертации06.11.2012
Размер43.36 Kb.
ТипЛекция



09.10.12, М.



Лекция № 10 (08.11.11)


3.2.5. Параболический случай

Вернёмся к уравнению, которое мы получили в девятой лекции:

A1+ C1 + D1x1 + E1y1 + F1 = 0. (2)

Сейчас мы рассмотрим случай, когда из двух чисел A1 и C1 одно равно нулю, дру­гое нет. Этот случай называется параболическим. Предположим для определённости, что A1 ≠ 0, C1 = 0:

A1+ D1x1 + E1y1 + F1 = 0.

Дополним до полного квадрата:

,



Положим



Сначала рассмотрим случай, когда E1  0. Разделим на A1 (которое у нас не равно нулю):



Обозначим:







Введём также обозначение: = p > 0. В зависимости от знака числа возможны два случая:


1.

2.

1 и 2 – ещё не канонические уравнения параболы. Чтобы привести 1 к кано­ническому виду, необходимо сделать поворот осей координат на 90:





Подставим теперь в первое уравнение:



Получили каноническое уравнение параболы в последней (четвёртой) системе координат. В случае 2 поворот надо осуществить на 270.

Остаётся рассмотреть случай, когда ^ E1 = 0:



Разделим на A1 (оно не равно нулю) обе части:



Здесь три подслучая:

1) H = 0 – одна прямая линия;


2) > 0 – пустое множество .

3) < 0.



Получили объединение двух прямых, в данном случае – параллельных.

Случай A1 = 0, C1 ≠ 0 разбирается аналогично.


^ 3.2.6. Вывод формул преобразования координат точек при пово­роте

1) В любой прямоугольной системе координат абсцисса (ордината) вектора равна скалярному произведению этого вектора на первый (второй) вектор стандартного базиса.

Доказательство:



a = 1e1 + 2e2;

(a, e1) = 1(e1, e1) + 2(e2, e1) = 11 + 20 = 1 (то есть абсцисса).

Аналогич­но утверждение доказывается для ординаты.

2) Если a = (a1, a2), b = (b1, b2) (в старой системе координат), a = (, ), b = (, ) (в новой системе координат), то

(a, b) = a1b1 + a2b2 =+

(формула верна в любой прямоуголь­ной системе координат).


3) Старые координаты новых базисных векторов



= = {cos; sin};

= {cos( +); sin( +)} = {−sin; cos}.

Первая формула показывает результат поворота вектора e1 на угол , вторая − результат поворота того же вектора на угол  +.


^ 4) Выражение новых координат через старые

Возьмем точку P плоскости:

P = (x; y) = (x1; y1)1.

= {x; y} = {x1; y1}1.

x1 = absc.1 = (;) = ({x; y}; {cos, sin}) = xcos + ysin;

y1 = ord.1 = (;) = ({x; y}; {−sin; cos}) = −xsin + ycos.

Поскольку всё равно, в какой системе координат считать скалярное произведение (см. п. 2), я считал (;) и (;) в старой системе координат.


5) Выражение старых координат через новые

Переход от новой системы координат к старой можно рассматривать как пово­рот на угол  в обратную сторону, т. е. по часовой стрелке, или же, что равносильно, как по­ворот против часовой стрелки на угол −:

x = x1cos(−) + y1sin(−);

y = − x1sin(−) + y1cos(−);


x = x1cos − y1sin;

y = x1sin + y1cos.


§ 3.3. Инвариантные определения классических кривых второго порядка


3.3.1. Эллипс




F1, F2 – фокусы эллипса.

MF1 + MF2 = 2a > 2c, a > c  0.

Определение (инвариантное определение эллипса). Пусть на плоскости даны две точки F1 и F2, расстояние между которыми равно 2c (с  0), и пусть дано некоторое число a > c. Тогда множество всех тех и только тех точек плоскости, сумма расстояний от кото­рых до точек F1 и F2 равна 2a, называется эллипсом, а точки F1, F2 называются фокусами этого эллипса.

Предложение 1. Эллипс (в смысле инвариантного определения) в некоторой де­картовой прямоугольной системе координат обладает каноническим уравнением.

Доказательство.

c = 0 ~ F1 = F2 − в этом случае получается окружность.

MF1 = a.

− каноническое уравнение окружности.

Вернёмся к общему случаю и будем считать далее, что c > 0.

Прямая, проходящая через фокусы, определяется однозначно, возьмём её за ось абсцисс, а за начало координат − середину отрезка F1F2. Тогда:


F1 = (−c; 0),

F2 = (c; 0).

Пусть M – произвольная точка эллипса, M = (x, y).



Теперь возведем в квадрат обе части:







a2((xc)2 + y2)= a4 − 2a2cx + c2x2;

a2(xc)2 + a2y2= a4 − 2a2cx + c2x2;

(a2c2)x2 + a2y2 = a2(a2c2).

Вспомним, что a > c > 0, и обозначим . Тогда

a2c2 = b2b < a;

b2x2 + a2y2 = a2 b2;

.

Мы доказали, что координаты любой точки эллипса удовлетворяют каноническому уравнению. Для завершения доказательства предложения надо доказать обратное утвер­ждение. Но это сделано в следующем предложении.

Предложение 2. Эллипс, определённый каноническим уравнением, удовлетворяет инвариантному определению эллипса.

Доказательство. Дано уравнение: (в случае b = a легко выводится уравнение окружности). Обозначим через



Из последнего равенства вытекает, что c < a.

Теперь введем в рассмотрение точки (будущие фокусы): F1 = (−c; 0) и F2 = (c; 0).



Объясним, почему можно снять знак абсолютной величины. Из уравнения эллипса видно, что

.

Следовательно, для всех точек нашей кривой выполняется |x| ≤ a; с другой стороны, как сказано выше, c < a.



Последнее соотношение вытекает из того, что неравенство равносильно двой­ному неравенству откуда поэтому знак абсолютной величины можно снять.




Похожие:

Лекция №10 (08. 11. 11) 2 Параболический случай iconДокументи
1. /К лекцям самоанализ/Лекция 1/Анкета.docx
2. /К...

Лекция №10 (08. 11. 11) 2 Параболический случай iconНу вот и последнее. Мы рассмотрели случай реального исторического события
Мы рассмотрели случай когда во главе эскадры стал человек, отличный от Рожественского только в одном смысле: не был «осветлен» психологией...
Лекция №10 (08. 11. 11) 2 Параболический случай iconДокументи
1. /8 лекция/Тема 8 (лекция).docx
Лекция №10 (08. 11. 11) 2 Параболический случай iconДокументи
1. /7 лекция/Тема 7 (лекция).docx
Лекция №10 (08. 11. 11) 2 Параболический случай iconДокументи
1. /Урок Счастливый случай 5 кл/Древний восток2.doc
2. /Урок...

Лекция №10 (08. 11. 11) 2 Параболический случай iconЛекции по психотерапии содержание предисловие. Вводная лекция. Лекция №
Эти лекции написаны для тех, кто может позволить себе роскошь быть
Лекция №10 (08. 11. 11) 2 Параболический случай iconЛекция №2 (11. 09. 10) 10 Связь между матрицами билинейной формы в разных базисах
Пусть теперь в нашем пространстве рассматривается не один базис, а два базиса кряду: a1, a2, …, an и b1, b2, …, bn. Пусть q − матрица...
Лекция №10 (08. 11. 11) 2 Параболический случай iconЛ. Н. Толстого и приёмы мастерства Лекция
Лекция для учащихся 10-х классов «Эстетические взгляды и приёмы мастерства Л. Н. Толстого»
Лекция №10 (08. 11. 11) 2 Параболический случай iconДокументи
1. /История электротехники/Библиографический список.doc
2. /История...

Лекция №10 (08. 11. 11) 2 Параболический случай iconДокументи
1. /История электротехники/Библиографический список.doc
2. /История...

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы