Теорема пифагора вне школьной программы icon

Теорема пифагора вне школьной программы



НазваниеТеорема пифагора вне школьной программы
Прокопенко О.И
Дата конвертации02.11.2012
Размер247.75 Kb.
ТипДокументы


Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №92»

X школьная научно-практическая конференция


ТЕОРЕМА ПИФАГОРА ВНЕ ШКОЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ


Выполнил:

ученик 9а класса

Мергер Виталий

Руководитель:

учитель математики

Прокопенко О.И.


Новокузнецк, 2007г.

Оглавление


Введение c.3-4


Глава 1. «Золотые стихи» Пифагора. с.5-9


Глава 2. История открытия теоремы. с.10-11


Глава 3. Способы доказательства теоремы. с.12-17


^ Глава 4. Применение теоремы. с.18-23


Заключение с.24


Литературы. с.25


Введение.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоции­ровалось бы с его теоремой. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота - красота - значимость. В самом деле, теорема Пифа­гора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой.

Кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т. д.), свидетель­ствует о гигантском числе её конкретных реализаций.

В современных учебниках теорема сформулирована так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Во времена Пифагора она звучала так: «Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равно­велик сумме квадратов, построенных на катетах» или «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольни­ка, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

^ Цели и задачи реферата.

О теореме Пифагора написано огромное количество научной литературы. В ней присутствуют, в основном, современные доказа­тельства, написанные математическим языком, но в большинстве случаев они мало понятны человеку с небольшим багажом матема­тических знаний, поэтому мы хотели с помощью своей работы:

- доступнее преподать материал учебника, используя такие средства, как различную дополнительную литературу, сайты Ин­тернета (поисковые серверы: Yandex), собственные предложения, электронную презен­тацию.

Но основная цель нашей работы состояла в том, чтобы показать значение теоремы Пифагора в развитие науки и техники многих стран и народов мира, а также в наиболее простой и интересной форме преподать содержание теоремы.

Основной метод, который использовался в работе, -это метод систематизации и обработки данных.

Практическое применение работы состоит в том, чтобы использовать знания и умения в решении задач по геометрии, расширении кругозора учащихся.


«

^ ЗОЛОТЫЕ СТИХИ» ПИФАГОРА

«Будь справедлив и в словах, и в поступках своих...»

Пифагор (ок. 570- ок. 500 гг. до н. э.)

Древнегреческий философ и математик, просла­вившийся своим учением о космической гармонии и переселении душ. Предание приписывает Пифагору доказательство теоремы, носящей его имя. Многое в учении Платона восходит к Пифагору и его исследова­телям.

Письменных документов о Пифагоре Самосском, сыне Мнесарха, не осталось, а по более поздним свиде­тельствам трудно восстановить подлинную картину его жизни и достижений. Известно, что Пифагор покинул свой родной остров Самос в Эгейском море у бере­гов Малой Азии в знак протеста против тирании правителя и уже в зрелом возрасте (по преданию в 40 лет) появился в греческом городе Кротоне на юге Италии. Пифагор и его последователи - пифагорейцы - образовали тайный союз, игравший немалую роль в жизни греческих колоний в Ита­лии. Пифагорейцы узнавали друг друга по звёздчатому пятиугольнику - пентаграмме. Но Пифагору пришлось удалиться в Метапонт, где он и умер. Позднее, во второй половине V до н. э., его орден был разгромлен.

На учение Пифагора большое влияние оказала философия и рели­гия Востока. Он много путешествовал по странам Востока: был в Египте и Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с восточной матема­тикой.

Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях спрятана тай­на мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа, равные сумме своих делителей, воспринимались как совершенные (6, 28, 496, 8128); дружественными называли пары чисел, из которых каждое равнялось сумме делителей дру­гого (например, 220 и 284). Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел понятие фигурного числа. В его школе были подробно рассмотрены пифагоровы тройки натуральных чи­сел, у которых квадрат одного равнялся сумме квадратов двух других (ве­ликая теорема Ферма).

Пифагору приписывается высказывание: «Все есть число». К числам (а он имел ввиду лишь натуральные числа) он хотел свести весь мир, и математику в частности. Но в самой школе Пифагора было сделано от­крытие, нарушавшее эту гармонию. Было доказано, что корень из 2 не является рациональным числом, т. е. не выражается через натуральные числа.

Естественно, что геометрия у Пифагора была подчинена арифметике. Это ярко проявилось в теореме, носящей его имя и ставшей в дальнейшем основой применения численных методов геометрии. (Позже Евклид вновь вывел на первое место геометрию, подчинив ей алгебру.) По-видимому, пифагорейцы знали правильные тела: тетраэдр, куб и додекаэдр.

Пифагору приписывают систематическое введение доказательств в геометрию, создание планиметрии прямолинейных фигур, учение о подо­бии.

С именем Пифагора связывают учение об арифметических, геометри­ческих и гармонических пропорциях.

Следует заметить, что Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг солнца. Когда в XVI веке церковь начала ожесточённо преследо­вать учение Коперника, это учение упорно именовалось пифагорейским. (Энциклопедический словарь юного математика: Э-68. А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1989, с. 28.)

Некоторые фундаментальные концепции, несомненно, принадлежат самому Пифагору. Первая из них - представление о космосе как о матема­тически упорядоченном целом. Пифагор пришел к нему после того, как открыл, что основные гармонические интервалы, т. е. октава, чистая квин­та и чистая кварта, возникают, когда длины колеблющихся струн относят­ся как 2:1, 3:2 и 4:3 (легенда гласит, что открытие было сделано, когда Пифагор проходил мимо кузницы: имевшие разную массу наковальни порождали при ударе соответствующие соотношения звучаний). Усмот­рев аналогию между упорядоченностью в музыке, выражаемой открыты­ми им отношениями, и упорядоченностью материального мира, Пифагор пришел к заключению, что математическими соотношениями пронизан весь космос. Попытка применить математические открытия Пифагора к умозрительным физическим построениям приводила к любопытным ре­зультатам. Так, предполагалось, что каждая планета при своем обращении вокруг Земли издает, проходя сквозь чистый верхний воздух, или «эфир», тон определенной высоты. Высота звука меняется в зависимости от скоро­сти движения планеты, скорость же зависит от расстояния до Земли. Слива­ясь, небесные звуки образуют то, что получило название «гармонии сфер», или «музыки сфер», ссылки на которую нередки в европейской литературе.

Ранние пифагорейцы считали, что Земля плоская и находится в центре космоса. Позднее они стали считать, что Земля имеет сферическую форму и вместе с другими планетами (к числу которых они относили Солнце) обра­щается вокруг центра космоса, т. е. «очага».

В античности Пифагор был известен более всего как проповедник оп­ределенного образа жизни. Центральным в его учении было представле­ние о реинкарнации (переселении душ), что, разумеется, предполагает способность души переживать смерть тела, а значит ее бессмертие. По­скольку в новом воплощении душа может переселиться в тело животного, Пифагор был противником умерщвления животных, употребления в пищу их мяса и даже заявлял, что не следует иметь дело с теми, кто забивает животных или разделывает их туши. Насколько можно судить по сочине­ниям Эмпедокла, разделявшего религиозные воззрения Пифагора, проли­тие крови рассматривалось здесь в качестве первородного греха, за кото­рый душа изгоняется в бренный мир, где она блуждает, будучи заключена то в одно, то в другое тело. Душа страстно желает освобождения, но по невежеству неизменно повторяет греховное деяние.

Избавить душу от нескончаемой череды перевоплощений может очищение. Простейшее очищение заключается в соблюдении некоторых запретов (например, воздержание от опьянения или от употребления в пищу бобов) и правил поведения (например, почитание старших, законо-послушание и негневливость).

Пифагорейцы высоко ценили дружбу, и по их понятиям все имущест­во друзей должно быть общим. Немногим избранным предлагалась выс­шая форма очищения - философия, т. е. любовь к мудрости, а значит стремление к ней (слово это, как утверждает Цицерон, было впервые употреблено Пифагором, который назвал себя именно не мудрецом, а лю­бителем мудрости). С помощью этих средств душа приходит в соприкос­новение с принципами космического порядка и становится им созвучной, она освобождается от своей привязанности к телу, его беззаконных и не­упорядоченных желаний. Математика - одна из составных частей религии пифагорейцев, которые учили, что Бог положил число в основу мирового порядка.

Влияние пифагорейского братства в первой половине V в. до н. э. не­прерывно возрастало. Но его стремление отдать власть «наилучшим» при­шло в конфликт с подъемом демократических настроений в греческих го­родах южной Италии, и вскоре после 450 г. до н. э. в Кротоне вспыхнуло восстание против пифагорейцев, которое привело к убийству и изгнанию многих, если не всех, членов братства. Впрочем, еще в IV в. до н. э. пифаго­рейцы пользовались влиянием в южной Италии, а в Таренте, где жил друг Платона Архит, оно сохранялось еще дольше. Однако куда важнее для ис­тории философии было создание пифагорейских центров в самой Греции, например в Фивах, во второй половине V в. до н. э. Отсюда пифагорейские идеи проникли в Афины, где, если верить платоновскому диалогу Федон, они были усвоены Сократом и превратились в широкое идейное движение, начатое Платоном и его учеником Аристотелем.

В последующие столетия фигура самого Пифагора была окружена множеством легенд: его считали перевоплощенным богом Аполлоном, полагали, что у него было золотое бедро, и он был способен преподавать в одно и то же время в двух местах. Отцы раннехристианской церкви отве­ли Пифагору почетное место между Моисеем и Платоном. Еще в XVI в. были нередки ссылки на авторитет Пифагора в вопросах не только науки, но и магии.


^ За легендой истина

Открытие теоремы Пифагора окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого принес в жертву быка». Легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через 2000 лет продолжала вызывать горячие от­клики.



Так, оптимист Михайло Ломоносов писал: «Пифагор за изобретение одного геометриче­ского правила Зевсу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось».


^ История открытия теоремы

Обычно открытие теоремы Пифагора приписывают древнегре­ческому философу и математику Пифагору (VI в. до н. э.). Но изу­чение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских руко­писей (копий еще более древних манускриптов) показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за ты­сячелетия до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он от­крыл доказательство этой теоремы.

Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое вни­мание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, со­единяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».










В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с од­ним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Также теорема Пифагора была обнаружена и в древнекитай­ском трактате «Чжоу - би суань цзинь» («Математический трактат о гномоне»), время создания которого точно неизвестно, но где ут­верждается, что в XV в. до н. э. китайцы знали свойства египетско­го треугольника, а в XVI в. до н. э. - и общий вид теоремы.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3+4=5 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э. во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко вре­мени Хаммурапи, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямо­угольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуре­чье умели производить вычисления с прямоугольными треугольника­ми, по крайней мере, в некоторых случаях. Ван-дер-Варден (голланд­ский математик) сделал следующий вывод:

«Заслугой первых греческих математиков, таких как Фачес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецеп­ты, основанные на смутных представлениях, превратились в точ­ную науку».



Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипо­тенузы была известна в Индии уже около XVIII века до н. э., также о ней было известно и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактатеVII-V вв. до н. э. «Сульва сутра» («Правила верёвки»).

Но несмотря на все эти доказательства, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невоз­можно представить, что это словосочетание распадётся. То же от­носится и к легенде о заклинании быков Пифагора. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем кра­сивые древние предания.


^ Способы доказательства теоремы

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum - ослиный мост, или elefuga - бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежа­ли от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания и прозванные поэтому «ослами», были не в состоя­нии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли её также «ветряной мельницей», составляли стихотворения вроде «Пифагоровы штаны на чсе стороны равны», рисовали карикатуры.

^ Простейшее доказательство.

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сна­чала установлен для равнобедренных прямоугольников. Доста­точно взглянуть на мозаику из чёрных и светлых треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы для треугольни­ка ABC: квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника (рис. 1, 2).




Рис. 1 Рис. 2


^ Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.

При этом можно рассмотреть доказательства, в которых квад­рат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного тре­угольника, «складывается» из таких же фигур, что и квадраты, по­строенные на катетах. Можно рассматривать и такие доказательст­ва, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей.

На рис. 3 изображено два равных квадрата. Длина сторон каж­дого квадрата равна а + Ь. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямо­угольного треугольника с катетами а, b, то останутся равные пло­щади, т. е. с2 = а2 +b2 . Впрочем, древние индусы, которым принад­лежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали

чертеж лишь одним словом: «Смотри!». Вполне возможно, что та­кое же доказательство предложил и Пифагор.







Рис. 3 Рис.4


^ Доказательства методом достроения.

Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, постро­енным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, при­соединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились рав­новеликие фигуры.

На рис. 4 изображена обычная Пифаго­рова фигура прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квад­ратами. К этой фигуре присоединены тре­угольники 1 и 2, равные исходному прямо­угольному треугольнику.

Справедливость теоремы Пифагора вы­текает из равновеликости шестиугольников
AEDFPB и ACBNMQ. Здесь прямая ЕР делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая СМ делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра А отображает четырех­угольник АЕРВ на четырехугольник ACMQ.

(Это доказательство впервые дал Леонар­до да Винчи.)

На рис. 5 Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого парал­лельны соответствующим сторонам квадра­тов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на

треугольники и прямо­угольники. Из полученного прямоугольника

вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоуголь­ника отнимем прямоугольники 5, 6, 7 и заштрихованные прямо­угольники, получим квадраты, построенные на катетах.



Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае.

Рис. 6 иллюстрирует доказательство, приведенное Нассир-эд-Дином (1594 г.). Здесь: PL - прямая; KLOA = ACPF = ACED = а2; LGBO = СВМР = CBNQ = Ь2; AKGB = AKLO + LGBO л с2; отсюда с = а + b .

Рис. 7 иллюстрирует доказательство, приведенное Гофманом (1821 г.). Здесь Пифагорова фигура построена так, что квадраты лежат по одну сторону от прямой АВ. Здесь:

OCLP = ACLF = ACED = Ь2;

CBML=CBNQ=а2

OBMP=ABMF=c2

ОВМР = OCLP + CBML;

Отсюда с2 = а2 + Ь2.

Рис. 8 иллюстрирует еще одно более ори­гинальное доказательство, предложенное
Гофманом. Здесь: треугольник ABC с пря­мым углом С; отрезок BF перпендикулярен
СВ и равен ему, отрезок BE перпендикулярен АВ и равен ему, отрезок AD перпендикуля­рен АС и равен ему; точки F, С, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и АСВЕ равновелики, так как ABF = ЕСВ; треугольники ADF и АСЕ равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехуголь­ников общий для них треугольник ABC, получим (а22 - с2)/2







Рис. 9 иллюстрирует доказательство великого индийского ма­тематика Бхаскари (знаменитого автора Ли-лавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) за­нимает доказательство, использующее подо­бие.

Историки считают, что Бхаскара выра­жал площадь с2 квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей четырёх треугольников 4(ав/2) и площади квадрата со стороной, равной разности катетов.

Приведем в современном изложении одно из таких доказа­тельств, принадлежащих Пифагору.

На рис. 10 ДАВС - прямоугольный, С - прямой угол, (CM  АВ) b1 - проекция катета b на гипотенузу, а1. - проекция катета а на гипо­тенузу, h - высота треугольника, проведенная к гипотенузе.

Из того что ΔАВС подобен ∆АСМ, следует Ь2 = cb1; (1) из того что ΔАВС подобен ΔВСМ, следует а2 = са1 (2) Складывая почленно равенства (1) и (2), получим а2 + b2 = cb1 + ca1 = = c(b1|+ a1 ) = c2.

Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.

^ Доказательство Мёль-манна (рис. 11).

Площадь дан­ного прямоугольного треуголь­ника, с одной стороны, равна 0,5-а-Ь, с другой 0,5-р-г, где р -полупериметр радиус вписанной в него ок­ружности (г = 0,5-(а + в - с)). 0,5 ab - 0,5(а + в + с) • 0,5-(а + в - с), откуда

следует, что с2 = а2 + Ь2.

Рис.11


«Пифагоровы штаны» (доказательство Евклида).

В течение двух тысячелетий при­меняли доказательство, придуманное Евклидом, которое помещено в его знаменитых «Началах». Евклид опус­кал высоту ВН из вершины прямоугольного треугольника на гипо­тенузу и доказывал, что её продолжение делит построенный на ги­потенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны



площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах. Доказательст­во Евклида в сравнении с древнекитай­ским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «надуманным». Но такое мнение по­верхностно. Чертёж, применяемый при доказательстве теоремы, в шутку назы­вают «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.


«Пифагоровы штаны» (доказательство Евклида).

В течение двух тысячелетий при­меняли доказательство, придуманное Евклидом, которое помещено в его знаменитых «Началах». Евклид опус­кал высоту ВН из вершины прямоугольного треугольника на гипо­тенузу и доказывал, что её продолжение делит построенный на ги­потенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны



площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах. Доказательст­во Евклида в сравнении с древнекитай­ским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «надуманным». Но такое мнение по­верхностно. Чертёж, применяемый при доказательстве теоремы, в шутку назы­вают «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.


^ Применение теоремы.

Еще в древности возникла необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам.

Построение прямых углов египтянами.

Нахождение высоты объекта и определение расстояния до не­доступного предмета.

Подобные задачи решаются и в нашей повседневной жизни: в строительстве и машиностроении при проектировании любых строительных объектов.

^ Задачи в стихах.

Задача индийского математика XII века Бхаскары:

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол обломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С течением реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

^ Задача древних индусов:

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

^ Задача из старинного китайского трактата:

В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на один фут. Если нагнуть тростник, вершина достиг­нет берега. Какова глубина озера?

^ Задача из первого учебника математики на Руси. Назывался этот учебник «Арифме­тика»:

Случися некоему человеку к стене лествницу при-брати, стены же тоя высота есть 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать.

Приложение



Формулы, связывающие между собой длины отрезков, площа­ди, величины углов в фигурах, называют метрическими соотноше­ниями. И пожалуй, самое знаменитое из таких соотношений - тео­рема Пифагора. Она устанавливает простую зависимость между сторонами треугольника.

Благодаря тому что теорема Пифагора позволяет находить дли­ну отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трёхмер­ное пространство и дальше - в многомерные пространства. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и мате­матики в целом.

Теорема Пифагора лежит в основе большинства геометриче­ских вычислений. Ещё в Древнем Вавилоне с её помощью вычисляли длину высоты равнобедренного треугольника по длинам ос­нования и боковой стороны, стрелку сегмента - по диаметру ок­ружности и длине хорды, устанавливали соотношения между эле­ментами некоторых правильных многоугольников.

В некотором смысле в теореме Пифагора, как в зерне, заключена вся евклидова плани­метрия. Вспомним формулу для расстояния между точками A (x1; y1) и

В (х2; у2) в декар­товых координатах:

AB = .

С одной стороны, это просто теорема Пи­фагора для треугольника с гипотенузой ^ АВ и катетами, параллельными осям координат (их длины равны |х2 –х1 | и |у2 –у1|). С другой стороны, если считать пары чисел (х; у) точка­ми плоскости, тогда эта формула уже является определением рас­стояния. Из неё можно вывести все понятия, непосредственно оп­ределяемые через расстояния, - такие, как равенство и подобие фи­гур. Или, например, окружность. Она определяется как множество пар чисел (х; у), для которых

=const,

где 0; уо) - некоторая заданная точка (центр окружности).

Можно определить и все другие геометрические понятия в тер­минах расстояний: в частности, отрезок ^ АВ - это множество таких точек С, что

АС + СВ =АВ. А стоит добавить ещё одну координату z и соответствующее слагаемое (z2 –z1)2 в формулу расстояния - и мы в трёхмерном пространстве. Подобным же образом геометриче­ская структура вводится в пространствах любой, даже бесконечной размерности.

Теорема Пифагора лежит в основе многих более общих метри­ческих соотношений на плоскости и в пространстве. В значитель­ной мере на неё опирается и тригонометрия: ведь важнейшее тригонометрическое тождество cos2 а + sin2 а = 1 - это та же теорема Пифагора, записанная в другом виде.

Также теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов:

с2 = а2 + b2 – 2 a b cos С .

Если угол С прямой, то с2 = а2 + в2 , так как косинус прямого уг­ла равен нулю.

Из формулы с2 = а2 + в2 - 2 ав cos С следует соотношение

d1 2 + d22 = 2(a2 + b2) между длинами диагоналей и сторон паралле­лограмма, с помощью которого легко найти длину медианы тре­угольника по длинам его сторон.

На основании теоремы Пифагора выводится и формула, выра­жающая площадь любого треугольника через длины его сторон (формула Герона). Разумеется, теорему Пифагора применяли и для решения разнообразных практических задач.

Вместо квадратов на сторонах прямоугольного треугольника можно строить любые подобные между собой фигуры (равносто­ронние треугольники, полукруги и т. д.). При этом площадь фигу­ры, построенной на гипотенузе, равна сумме площадей фигур, по­строенных на катетах. Другое обобщение связано с переходом от плоскости к пространству. Оно формулируется так: квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадра­тов его измерений (длины, ширины и высоты). Аналогичная теоре­ма верна и в многомерном и даже бесконечномерном случаях.

^ В одной задаче - почти вся планиметрия!

Задача. В трапеции диагонали длиной 6 см и 8 см взаимно пер­пендикулярны. Найти длину средней линии трапеции.

Способ 1.

  1. Продолжим ВС вправо. Проведем DK || АС. Так как ACKD - параллелограмм, то DK = 6 см.

  2. BDDK, так как BDAC. Δ BDK - прямоугольный,

BK==10 (см)

3. ВК = ВС + AD. Средняя линия равна половине ВК, т. е. 5 см.
Ответ: 5 см.

Способ 2.



  1. MN- средняя линия трапеции. Про­ведем МК || BD и соединим точки N и К.

  2. NK - средняя линия D ACD, следо­вательно, NK = AC;

NK= 3(см).

  1. МК - средняя линия ΔABD, следо­вательно, MK = BD; MK'= 4 (см).

  2. MKN = AOD как углы с соответственно параллельными сторонами.

  1. Δ MNK- прямоугольный.

MN = = 5 (см). Ответ: 5 см.

Способ 3.

  1. Продолжим СА на расстоя­ние AM = СО. Через точку М про­ведем MN || AD. BD MN = N.

  2. Δ OMN - прямоугольный, ОМ = 6 см, ON = 8 см. Следовательно, MN = 10 см (теорема Пифа­гора).

  3. Проведем МК || ND. Продолжим AD до пересечения с МК..Δ МАК = ΔВОС (по 1 признаку), следовательно, АК = ВС.

  4. MKDN - параллелограмм, DK = MN = 10 см. Но DK = AD + ВС. Значит, средняя линия равна 5 см.

Ответ: 5 см.








Способ 4.

Соединим середины сторон трапеции. Легко доказать, что MPNQ - параллело­грамм с прямым углом, т. е. прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Диагонали его MN = PQ = 5 см (еги­петский треугольник). Ответ: MN = 5 см.


Способ 5. (тригонометрический)

1. Из подобия ΔВОС и ΔАОD:

, у=.

2. ΔВОС – прямоугольный.

tg=

3. Найдем cosпо формуле: 1+tg2 .

4. Из ΔВОС:

, ВС=

5. Из ΔАОD: , AD=

6. Средняя линия равна =5 (cм)

Ответ: 5см.


Заключение

Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геомет­рии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью мож­но вывести большинство теорем геометрии. Одна из теорем позво­ляет убедиться в том, что если из точки вне прямой проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то:

а) наклонные равны, если равны их проекции;

б) та наклонная больше, которая имеет большую проекцию.
Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим

длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Воз­никла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означа­ет «треугольник»).

Эта наука нашла применение в землемерии.

Но еще раньше с ее помощью научились измерять вообра­жаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.


Литература.


1. Алексеев, И. Г. Математика. Подготовка к ЕГЭ: учебно-
методическое пособие. - Саратов: Лицей, 2005. - 112 с.


2. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / авт.-сост. Л. С. Атанасян,
В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1994. -
335 с.

3. Геометрия. 10-11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / авт.-сост. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 13-е изд. - М: Просвещение, 2004. -206 с.


4. Математика. ЕГЭ - 2006, вступительные экзамены: пособие для са­мостоятельной подготовки. - Ростов н/Д: Легион, 2005.-416 с.


5. Погорелов, А. В. Геометрия: учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. уч­реждений. - 6-е изд. - М: Просвещение, 1996. - 383 с.


6. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учеб. пособие для уча­щихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / авт.-сост. М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. -4-е изд. - М.: Просвещение, 1997. -271 с.


7. Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. -
М.: Педагогика, 1989. - 352 с.




Похожие:

Теорема пифагора вне школьной программы iconКонспект урока по теме «Теорема Пифагора» Индивидуальный образовательный проект на уроке математики. Тема урока: «Теорема Пифагора» Класс: 8 Курс: геометрия
Цель (по программе): создание условий для формирования у учащихся знания и понимания теоремы Пифагора, осознания ее практической...
Теорема пифагора вне школьной программы iconУрок обобщения и систематизации знаний по теме «Четырехугольники. Теорема Пифагора» Тема: Четырехугольники. Теорема Пифагора. Цель
Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Четырехугольники. Теорема Пифагора»
Теорема пифагора вне школьной программы iconБрянский городской лицей №1 им. А. С. Пушкина. Проект «Теорема Пифагора»
«ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих...
Теорема пифагора вне школьной программы iconБрянский городской лицей №1 им. А. С. Пушкина. Проект «Теорема Пифагора»
Так возникла тематика в девяти книгах» — главное из сохранившихся математико астрономических сочинений. В 9-й книге «Математики»...
Теорема пифагора вне школьной программы iconПрезентация к уроку геометрии в 8 классе на тему «Теорема Пифагора»

Теорема пифагора вне школьной программы iconПроект по математике по теме «Теорема Пифагора и способы её доказательства»

Теорема пифагора вне школьной программы iconТеорема Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Теорема пифагора вне школьной программы iconТеорема Пифагора. Доказательство и применение. Презентацию подготовила Липатова Алёна ученица 8а класса гоу сош 119
В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов
Теорема пифагора вне школьной программы iconФормула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Теорема Пуасона
Сколькими способами можно выбрать четырех человек на 4 различные должности из 15 кандидатов на эти должности?
Теорема пифагора вне школьной программы iconЦель комплексного учебного курса
Вполне очевидно, что воспитательную составляющую наряду с научными знаниями, информацией об обществе, его интересах и законах, культуре...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы