Урок на тему: «Вычисление с помощью определенного интеграла площадей плоских фигур» icon

Урок на тему: «Вычисление с помощью определенного интеграла площадей плоских фигур»



НазваниеУрок на тему: «Вычисление с помощью определенного интеграла площадей плоских фигур»
Дата конвертации30.10.2012
Размер64.15 Kb.
ТипУрок

Урок на тему: «Вычисление с помощью определенного интеграла площадей плоских фигур».


Цель урока: обобщить знания по теме «Площадь криволинейной трапеции», получить формулу для расчета площади плоских фигур, ограниченных графиками двух функций, освоить ее применение на практике.

Ход урока.

Учитель приветствует ребят и проверяет их готовность к уроку.

Я предлагаю ребята вам вспомнить изучаемый материал последних уроков с помощью следующих заданий:



б)


а)



в)

г)



д)

е)


ж)

з)



1.На каких рисунках заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, обоснуйте свой выбор?

2. Как найти площадь криволинейной трапеции?

3.Вычислите площадь выбранных вами фигур.

Самостоятельно вычисляют площади, сверяют ответы, при необходимости разбирают задание на доске.

А если фигура не является криволинейной трапецией, как найти ее площадь? Я думаю, что вы догадались чему будет посвящен сегодняшний урок. Запишите тему урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла».

Рассмотрим фигуру на следующем рисунке. Что нам мешает найти площадь этой фигуры изученным способом?

^ Ребята видят, что данная фигура не является криволинейной трапецией, что она частично расположена ниже оси ОХ.

Учитель выслушивает предложения ребят, при необходимости, помогает им выбрать правильный путь и вместе делают вывод,

Вы правильно заметили, что вычислить площадь фигуры обычным способом будет сложно, необходимо поработать с графиками функций, ограничивающими данную фигуру. Для начала найдем абсциссы точек, в которых функции пересекаются, что для этого нужно?

^ Ребята приравнивают правые части функций и решают получившееся уравнение. Получают результат: -1; 2.

До этого случая все рассматриваемые нами фигуры лежали выше оси оХ, как перейти от нашей ситуации к более знакомой, не изменив при этом площадь искомой фигуры?

Выслушиваются версии ребят и приходят к выводу, что необходим параллельный перенос графиков, например на 4 единицы вверх, чтобы на отрезке [-1; 2] обе функции принимали положительные значения.

Вот у нас получилась фигура равная данной, но ограниченная уже графиками функций у = -х² +6 и у = х² - 2х +2. Найдите, на получившемся рисунке, фигуры, площадь которых мы уже умеем вычислять.

^ Ребята называют криволинейные трапеции, ограниченные сверху функциями, являющимися границами рассматриваемой фигуры.

Как выразить площадь искомой фигуры через площади получившихся криволинейных трапеций?

^ Ребята предлагают найти площади названных криволинейных трапеций и вычислить их разность, которая и будет равна искомой площади фигуры.

Давайте запишем предложенное вами решение.


S = S- S= dx - dx.

Применив свойства определенного интеграла, получим


S = S- S= dx - dx = =


=dx

Посмотрите, что у нас получилось, какой вывод можно сделать?

Ребята замечают, что совсем необязательно было осуществлять параллельный перенос графиков функций, ограничивающих фигуру. Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций у = -х² +2 и у= х²- 2х -2 достаточно вычислить значение получившегося интеграла.

Давайте найдем значение полученного интеграла и узнаем площадь данной фигуры.


S=dx =dx =

= (-|=- (кв. ед.)


Как вы думаете, если фигура будет ограничена графиками функций другого вида, можно таким же способом вычислить площадь фигуры?

^ Выслушиваются мнения учеников.

Давайте рассмотрим случай, когда фигура ограничена графиками произвольных функций у =f(x) и у = g(x), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и b (а < b). Пусть эти функции непрерывны на [a;b] и f(x)>g(x) на всем интервале (а; b). В этом случае площадь фигуры вычисляется по формуле

S=.

Я думаю, что задания, в которых рассматриваются похожие ситуации, у вас не вызовут затруднения. Предлагаю вам вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой у = х – 2 и параболой у = х² - 4х + 2.

Давайте обсудим алгоритм нашего решения.

Обсуждая последовательность этапов решения, приходим к следующему алгоритму:

  1. Построить графики данных функций.

  2. Найти абсциссы точек пересечения графиков.

  3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций, используя формулу S=, где f(x) – функция, ограничивающая сверху фигуру, g(x) – функция, ограничивающая снизу фигуру.

^ Идет оформление задачи в тетради с образцом на доске.

Вернемся к фигурам, предложенным вашему вниманию в начале урока. У каких фигур вы теперь можете найти площадь? Составьте устно выражение для вычисления площади этих фигур.

Вы не назвали фигуру на рис. з). Эта фигура не является криволинейной трапецией, поэтому найти ее площадь через формулу Ньютона-Лейбница нельзя, но и применить полученную нами формулу площади тоже не можем. Как нам быть?

Обсуждая, приходим к различным приемам: 1) разбиение фигуры на части, площади которых можем найти; 2) учитывая симметрию фигуры, сводим задачу к нахождению площади ее половины, путем введения обратной функции и применения к ней формулы Ньютона-Лейбница, затем найденную площадь удвоить.

Я предлагаю вам первым способом найти площадь фигуры дома, а в классе разберем второй способ, так как он не так часто встречается.

С какой частью фигуры предлагаете работать? Не забудьте, что нам предстоит для функции у= х² задать ей обратную.

^ Ребята предлагают выбрать правую часть, так как для нее х 0 и для функции можно задать ей обратную.

Как выглядит функция обратная функции у= х²?

Выясняют, что надо х и у поменять местами и переобозначив, получают: у = .

Что делаем дальше?

Ребята предлагают построить график получившейся функции и на отрезке от 1 до 4 оси оХ рассмотреть криволинейную трапецию с площадью равной половине площади данной фигуры.

Постройте в тетрадях криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком обратной функцией, с боков прямыми х=1; х = 4 и снизу- осью оХ, найдите ее площадь и площадь данной фигуры.

S = 2S; S=

S = 2


Подведем итог сегодняшнему занятию. Что нового вы сегодня узнали на уроке?

Ученики дают ответ на вопрос.

Учитель комментирует оценки и задает домашнее задание


Используемая литература.


1. Нормативные документы: программа по математике для общеобразовательных учреждений; программа для школ (классов) с углубленным изучением математики; тематическое планирование по «Алгебре и началам анализа» для 10-11 классов профильного обучения.


2.С.М. Никольский и др.Алгебра и начала анализа 11. – М.: «Просвещение», 2006.


3.А.Н.Колмогоров и др. Алгебра и начала анализа 10-11. – М.: «Просвещение» 1993.


4.А.Г.Мордкович Алгебра и начала анализа 10 -11. – М.: Мнемозина 2003.


5.А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала анализа 10-11 задачник (2 часть). – М.: Мнемозина 2003.


6. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ 11. – М.: Мнемозина 2007.


7. Ю.М.Колягин и др. Алгебра и начала анализа 11.- М.: Мнемозина 2005.


8. Е.С.Канин и др. Упражнения по началам математического анализа в 9-10 классах.- М.: «Просвещение» 1986.


  1. И.Е.Малова и др. Система профессиональной подготовки учителя старшей школы при изучения курса методики преподавания математики. – Брянск 2002




  1. В.С.Шипачев Интеграл. Методические разработки для учащихся ВЗМШ при МГУ. – М.1984.




  1. Интернет.



Похожие:

Урок на тему: «Вычисление с помощью определенного интеграла площадей плоских фигур» iconУроку на тему «Площади плоских фигур»

Урок на тему: «Вычисление с помощью определенного интеграла площадей плоских фигур» iconУрок-лекция по теме: «Определенный интеграл». (2 часа) Тип урока: объяснения нового материала. Цель урока
Рассмотреть задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, дать описание математической модели таких задач
Урок на тему: «Вычисление с помощью определенного интеграла площадей плоских фигур» iconВычисление площадей фигур на клетчатой бумаге
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображены различные фигуры. Необходимо найти площадь. Ответ записать в квадратных...
Урок на тему: «Вычисление с помощью определенного интеграла площадей плоских фигур» iconУрок по геометрии в 8 классе по теме: Четырехугольники, их свойства. Вычисление площадей четырёхугольников
По определению уровня усвоения знаний по теме «Свойства четырехугольников,площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма»
Урок на тему: «Вычисление с помощью определенного интеграла площадей плоских фигур» iconВариант №5 Задача №1
Вычислить объём тела с помощью кратного интеграла, используя подходящую замену переменных
Урок на тему: «Вычисление с помощью определенного интеграла площадей плоских фигур» iconУрок по математике в 1 классе Тема: Равенство фигур Цель
...
Урок на тему: «Вычисление с помощью определенного интеграла площадей плоских фигур» iconТема Кол-во
Практическая работа №1. Вычисление количества информации с помощью электронного калькулятора
Урок на тему: «Вычисление с помощью определенного интеграла площадей плоских фигур» iconЗапоминание английских слов с помощью метода метаморфических фигур

Урок на тему: «Вычисление с помощью определенного интеграла площадей плоских фигур» iconУрок математики
Оценить глубину, полноту знаний, умение применить знания для решения определенного круга задач
Урок на тему: «Вычисление с помощью определенного интеграла площадей плоских фигур» iconКонспект урока по геометрии в 9 классе
На уроках мы с вами рассматривали определения фигур, свойства фигур, доказывали теоремы и следствия из них. В основе любой науки...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©lib.podelise.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы